Cú e vs ạ giải chi tiết cho e vs $16)~\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^4-x^3-x+1}{x^3-5x^2+7x-3}.$,V2:-Ô

Question

Accepted Answer

Để tính giới hạn $\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - x^3 - x + 1}{x^3 - 5x^2 + 7x - 3}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Kiểm tra điều kiện xác định: Ta thấy rằng khi $x \to 1$, cả tử và mẫu đều bằng 0, tức là dạng không xác định $\frac{0}{0}$. Do đó, ta cần thực hiện phép chia hoặc phân tích để đơn giản hóa biểu thức.

2. Phân tích đa thức ở tử và mẫu:
   - Tử: $x^4 - x^3 - x + 1$
     Ta thử phân tích nhân tử:
     $$
     x^4 - x^3 - x + 1 = x^3(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(x^3 - 1)
     $$
     Ta tiếp tục phân tích $x^3 - 1$:
     $$
     x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
     $$
     Vậy:
     $$
     x^4 - x^3 - x + 1 = (x - 1)^2(x^2 + x + 1)
     $$

- Mẫu: $x^3 - 5x^2 + 7x - 3$
     Ta thử phân tích nhân tử:
     $$
     x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = (x - 1)(x^2 - 4x + 3)
     $$
     Ta tiếp tục phân tích $x^2 - 4x + 3$:
     $$
     x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
     $$
     Vậy:
     $$
     x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = (x - 1)^2(x - 3)
     $$

3. Thay vào biểu thức ban đầu:
   $$
   \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2(x^2 + x + 1)}{(x - 1)^2(x - 3)}
   $$

4. Rút gọn biểu thức:
   $$
   \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x - 3}
   $$

5. Tính giới hạn:
   Thay $x = 1$ vào biểu thức đã rút gọn:
   $$
   \frac{1^2 + 1 + 1}{1 - 3} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}
   $$

Vậy:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - x^3 - x + 1}{x^3 - 5x^2 + 7x - 3} = -\frac{3}{2}
$$