Giúp mình với!Giúp mình với!

Câu 22. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm biểu thức tổng quát của mỗi phân số trong dãy: Ta có: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k\sqrt{k+1} + (k+1)\sqrt{k}} \] 2. Rationalize mẫu số: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số: \[ \frac{1}{k\sqrt{k+1} + (k+1)\sqrt{k}} \cdot \frac{k\sqrt{k+1} - (k+1)\sqrt{k}}{k\sqrt{k+1} - (k+1)\sqrt{k}} = \frac{k\sqrt{k+1} - (k+1)\sqrt{k}}{(k\sqrt{k+1})^2 - ((k+1)\sqrt{k})^2} \] Mẫu số trở thành: \[ (k\sqrt{k+1})^2 - ((k+1)\sqrt{k})^2 = k^2(k+1) - (k+1)^2k = k^3 + k^2 - (k^3 + 2k^2 + k) = -k^2 - k \] Vậy: \[ \frac{1}{k\sqrt{k+1} + (k+1)\sqrt{k}} = \frac{k\sqrt{k+1} - (k+1)\sqrt{k}}{-k(k+1)} = \frac{(k+1)\sqrt{k} - k\sqrt{k+1}}{k(k+1)} \] Tương đương: \[ \frac{1}{k\sqrt{k+1} + (k+1)\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}} \] 3. Tính tổng \( S_n \): \[ S_n = \left( \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right) \] Đây là một dãy tổng có tính chất rút gọn: \[ S_n = 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \] 4. Tìm giới hạn của \( S_n \) khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right) = 1 - 0 = 1 \] Vậy đáp án đúng là: C. 1. Câu 23. Để tính giá trị của $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n + \sin n}{n^2 + 1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giới hạn của tử số và mẫu số: - Tử số là $\cos n + \sin n$. Ta biết rằng $\cos n$ và $\sin n$ đều bị chặn trong khoảng từ -1 đến 1, tức là: \[ -1 \leq \cos n \leq 1 \quad \text{và} \quad -1 \leq \sin n \leq 1. \] Do đó: \[ -2 \leq \cos n + \sin n \leq 2. \] - Mẫu số là $n^2 + 1$. Khi $n \to \infty$, mẫu số này sẽ tăng không giới hạn, tức là: \[ n^2 + 1 \to \infty. \] 2. Áp dụng quy tắc về giới hạn của thương hai dãy số: - Khi tử số bị chặn và mẫu số tiến đến vô cùng, thì thương của chúng sẽ tiến đến 0. Cụ thể: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\cos n + \sin n}{n^2 + 1} = 0. \] Vậy giá trị của $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n + \sin n}{n^2 + 1}$ là 0. Đáp án đúng là: B. 0. Câu 24. Để tính giá trị của $\lim_{n \to \infty} \frac{2-n}{n+1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho n để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2-n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{1 + \frac{1}{n}} \] Bước 2: Tính giới hạn của từng phần tử trong biểu thức: - Khi \( n \to \infty \), \(\frac{2}{n} \to 0\) - Khi \( n \to \infty \), \(\frac{1}{n} \to 0\) Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{0 - 1}{1 + 0} = \frac{-1}{1} = -1 \] Vậy giá trị của $\lim_{n \to \infty} \frac{2-n}{n+1}$ là \(-1\). Đáp án đúng là: C. -1. Câu 30. Để xác định dãy số nào trong các lựa chọn có giới hạn khác 0 khi \( n \to \infty \), chúng ta sẽ tính giới hạn của mỗi dãy số. A. \( \frac{1}{n} \) Khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \] B. \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) Khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \] C. \( \frac{n + 1}{n} \) Khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 + 0 = 1 \] D. \( \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \) Khi \( n \to \infty \): \[ -1 \leq \sin(n) \leq 1 \] Do đó: \[ -\frac{1}{\sqrt{n}} \leq \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \] Khi \( n \to \infty \), cả \( -\frac{1}{\sqrt{n}} \) và \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} = 0 \] Từ các tính toán trên, chỉ có dãy số \( \frac{n + 1}{n} \) có giới hạn khác 0 khi \( n \to \infty \). Vậy đáp án đúng là: C. \( \frac{n + 1}{n} \)