giải hộ mình Câu 2: Chuyển động của một vật có phương trình $s(t)=4\cos(2\pi t-\frac\pi{12})(m),$ với t là thời gian tính,bằng giây. Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?,$a)~s^\prime(t)=-8\pi\sin(2\pi t-\frac\pi{12})$,$b)~s^{\prime\prime}(t)=16\pi^2\cos(2\pi t-\frac\pi{12})$,c) Vận tốc của vật tại thời điểm khi $t=5(s)$ là gần bằng 6,505 (m//s)..,d) Gia tốc của vật tại thời điểm khi $t=5(s)$ là gần bằng152,533 (mm/ ....

Question

giải hộ mình Câu 2: Chuyển động của một vật có phương trình $s(t)=4\cos(2\pi t-\frac\pi{12})(m),$ với t là thời gian tính,bằng giây. Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?,$a)~s^\prime(t)=-8\pi\sin(2\pi t-\frac\pi{12})$,$b)~s^{\prime\prime}(t)=16\pi^2\cos(2\pi t-\frac\pi{12})$,c) Vận tốc của vật tại thời điểm khi $t=5(s)$ là gần bằng 6,505 (m//s)..,d) Gia tốc của vật tại thời điểm khi $t=5(s)$ là gần bằng152,533 (mm/    ....

Accepted Answer

Câu 2:
Để kiểm tra các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt tính đạo hàm của phương trình chuyển động $ s(t) = 4 \cos(2\pi t - \frac{\pi}{12}) $.

a) Tính đạo hàm $ s'(t) $

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm cosinus:
$$ s'(t) = \frac{d}{dt} \left[ 4 \cos(2\pi t - \frac{\pi}{12}) \right] $$

Sử dụng quy tắc chuỗi:
$$ s'(t) = 4 \cdot (-\sin(2\pi t - \frac{\pi}{12})) \cdot \frac{d}{dt} (2\pi t - \frac{\pi}{12}) $$
$$ s'(t) = 4 \cdot (-\sin(2\pi t - \frac{\pi}{12})) \cdot 2\pi $$
$$ s'(t) = -8\pi \sin(2\pi t - \frac{\pi}{12}) $$

Mệnh đề a) đúng.

b) Tính đạo hàm thứ hai $ s''(t) $

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm sin:
$$ s''(t) = \frac{d}{dt} \left[ -8\pi \sin(2\pi t - \frac{\pi}{12}) \right] $$

Sử dụng quy tắc chuỗi:
$$ s''(t) = -8\pi \cdot \cos(2\pi t - \frac{\pi}{12}) \cdot \frac{d}{dt} (2\pi t - \frac{\pi}{12}) $$
$$ s''(t) = -8\pi \cdot \cos(2\pi t - \frac{\pi}{12}) \cdot 2\pi $$
$$ s''(t) = -16\pi^2 \cos(2\pi t - \frac{\pi}{12}) $$

Mệnh đề b) sai vì dấu âm bị bỏ qua.

c) Vận tốc của vật tại thời điểm $ t = 5 $ giây

Thay $ t = 5 $ vào biểu thức $ s'(t) $:
$$ s'(5) = -8\pi \sin(2\pi \cdot 5 - \frac{\pi}{12}) $$
$$ s'(5) = -8\pi \sin(10\pi - \frac{\pi}{12}) $$
$$ s'(5) = -8\pi \sin(\frac{120\pi - \pi}{12}) $$
$$ s'(5) = -8\pi \sin(\frac{119\pi}{12}) $$

Tính giá trị:
$$ \sin(\frac{119\pi}{12}) = \sin(\frac{119\pi}{12} - 10\pi) = \sin(\frac{-\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{12}) $$

Biết rằng $ \sin(\frac{\pi}{12}) \approx 0.2588 $:
$$ s'(5) = -8\pi \cdot (-0.2588) $$
$$ s'(5) \approx 8\pi \cdot 0.2588 $$
$$ s'(5) \approx 6.505 \text{ m/s} $$

Mệnh đề c) đúng.

d) Gia tốc của vật tại thời điểm $ t = 5 $ giây

Thay $ t = 5 $ vào biểu thức $ s''(t) $:
$$ s''(5) = -16\pi^2 \cos(2\pi \cdot 5 - \frac{\pi}{12}) $$
$$ s''(5) = -16\pi^2 \cos(10\pi - \frac{\pi}{12}) $$
$$ s''(5) = -16\pi^2 \cos(\frac{120\pi - \pi}{12}) $$
$$ s''(5) = -16\pi^2 \cos(\frac{119\pi}{12}) $$

Tính giá trị:
$$ \cos(\frac{119\pi}{12}) = \cos(\frac{119\pi}{12} - 10\pi) = \cos(\frac{-\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{12}) $$

Biết rằng $ \cos(\frac{\pi}{12}) \approx 0.9659 $:
$$ s''(5) = -16\pi^2 \cdot 0.9659 $$
$$ s''(5) \approx -16 \cdot 9.8696 \cdot 0.9659 $$
$$ s''(5) \approx -152.533 \text{ m/s}^2 $$

Mệnh đề d) đúng.

Kết luận:
- Mệnh đề a) đúng.
- Mệnh đề b) sai.
- Mệnh đề c) đúng.
- Mệnh đề d) đúng.