Help me....

Câu 1: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{-3}{4n^2 - 2n + 1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xét giới hạn của mẫu số: Mẫu số của phân thức là $4n^2 - 2n + 1$. Khi $n$ tiến đến vô cùng ($n \to \infty$), thì $4n^2$ sẽ tăng nhanh hơn tất cả các hạng tử khác trong biểu thức này. Do đó, giới hạn của mẫu số là: \[ \lim_{n \to \infty} (4n^2 - 2n + 1) = \infty \] 2. Tính giới hạn của phân thức: Ta có phân thức $\frac{-3}{4n^2 - 2n + 1}$. Khi mẫu số tiến đến vô cùng, phân số này sẽ tiến đến 0 vì tử số là hằng số (-3) và mẫu số tiến đến vô cùng. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-3}{4n^2 - 2n + 1} = 0 \] Vậy giá trị của giới hạn là 0. Đáp án đúng là: C. 0. Câu 2: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^3 - 2n + 1}{4n^4 + 2n + 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $n^4$ (vì đây là bậc cao nhất trong mẫu): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^3 - 2n + 1}{n^4}}{\frac{4n^4 + 2n + 1}{n^4}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} - \frac{2}{n^3} + \frac{1}{n^4}}{4 + \frac{2}{n^3} + \frac{1}{n^4}} \] Bước 2: Tính giới hạn của từng phần tử trong biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^3} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^4} = 0 \] Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} - \frac{2}{n^3} + \frac{1}{n^4} \right) = 0 \] \[ \lim_{n \to \infty} \left( 4 + \frac{2}{n^3} + \frac{1}{n^4} \right) = 4 \] Bước 3: Kết hợp lại để tính giới hạn tổng thể: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} - \frac{2}{n^3} + \frac{1}{n^4}}{4 + \frac{2}{n^3} + \frac{1}{n^4}} = \frac{0}{4} = 0 \] Vậy giá trị của giới hạn là 0. Đáp án đúng là: B. 0. Câu 3: Để tính giới hạn \( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n + 5}{2n^2 + 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2 + n + 5}{n^2}}{\frac{2n^2 + 1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{5}{n^2}}{2 + \frac{1}{n^2}} \] Bước 2: Tính giới hạn của từng phần tử trong biểu thức: - \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \) - \( \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \) - \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \) Bước 3: Thay các giới hạn này vào biểu thức: \[ L = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \] Vậy, giới hạn \( L = \frac{1}{2} \). Đáp án đúng là: B. \( L = \frac{1}{2} \). Câu 4: Để tìm giới hạn của \(\frac{\nu_n}{u_n}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại biểu thức \(\frac{\nu_n}{u_n}\): \[ \frac{\nu_n}{u_n} = \frac{\frac{2}{n+2}}{\frac{1}{n+1}} \] Bước 2: Chia hai phân số: \[ \frac{\nu_n}{u_n} = \frac{2}{n+2} \times \frac{n+1}{1} = \frac{2(n+1)}{n+2} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức: \[ \frac{\nu_n}{u_n} = \frac{2(n+1)}{n+2} = \frac{2n + 2}{n+2} \] Bước 4: Tìm giới hạn khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 2}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n(1 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{2}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(1 + \frac{1}{n})}{1 + \frac{2}{n}} \] Khi \( n \to \infty \), các phân số \(\frac{1}{n}\) và \(\frac{2}{n}\) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2(1 + 0)}{1 + 0} = \frac{2 \cdot 1}{1} = 2 \] Vậy, \(\lim_{n \to \infty} \frac{\nu_n}{u_n} = 2\). Đáp án đúng là: B. 2. Câu 5: Để dãy số \( u_n = \frac{an + 4}{5n + 3} \) có giới hạn bằng 2 khi \( n \to \infty \), ta cần tìm giá trị của \( a \). Bước 1: Xác định giới hạn của dãy số \( u_n \). \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{an + 4}{5n + 3} \] Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho \( n \): \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a + \frac{4}{n}}{5 + \frac{3}{n}} \] Khi \( n \to \infty \), các phân số \( \frac{4}{n} \) và \( \frac{3}{n} \) sẽ tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{a + 0}{5 + 0} = \frac{a}{5} \] Bước 3: Đặt giới hạn này bằng 2 để tìm giá trị của \( a \): \[ \frac{a}{5} = 2 \] Bước 4: Giải phương trình để tìm \( a \): \[ a = 2 \times 5 = 10 \] Vậy giá trị của \( a \) là \( 10 \). Đáp án đúng là: A. \( a = 10 \). Câu 6: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi^n + 3^n + 2^{2n}}{3\pi^n - 3^n + 2^{2n+2}}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giới hạn của từng phần tử trong biểu thức khi $n \to \infty$: - $\pi^n$ tăng nhanh hơn $3^n$ và $2^{2n}$ vì $\pi > 3$ và $\pi > 4$. - $2^{2n+2} = 4 \cdot 2^{2n}$ cũng tăng nhanh hơn $3^n$ nhưng chậm hơn $\pi^n$. Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho $\pi^n$ để dễ dàng nhận biết giới hạn: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi^n + 3^n + 2^{2n}}{3\pi^n - 3^n + 2^{2n+2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \left(\frac{3}{\pi}\right)^n + \left(\frac{2^2}{\pi}\right)^n}{3 - \left(\frac{3}{\pi}\right)^n + 4 \left(\frac{2^2}{\pi}\right)^n} \] Bước 3: Tính giới hạn của từng phần tử trong biểu thức mới: - $\left(\frac{3}{\pi}\right)^n \to 0$ khi $n \to \infty$ vì $\frac{3}{\pi} < 1$. - $\left(\frac{2^2}{\pi}\right)^n = \left(\frac{4}{\pi}\right)^n \to 0$ khi $n \to \infty$ vì $\frac{4}{\pi} < 1$. Bước 4: Thay các giới hạn vào biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 0 + 0}{3 - 0 + 4 \cdot 0} = \frac{1}{3} \] Vậy, giới hạn của biểu thức là $\frac{1}{3}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3}$. Câu 7: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n^3 - 2n^2} - n)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt[3]{n^3 - 2n^2} - n = \left( \sqrt[3]{n^3 - 2n^2} - n \right) \cdot \frac{\sqrt[3]{(n^3 - 2n^2)^2} + n \sqrt[3]{n^3 - 2n^2} + n^2}{\sqrt[3]{(n^3 - 2n^2)^2} + n \sqrt[3]{n^3 - 2n^2} + n^2} \] Bước 2: Áp dụng công thức nhân liên hợp: \[ = \frac{(n^3 - 2n^2) - n^3}{\sqrt[3]{(n^3 - 2n^2)^2} + n \sqrt[3]{n^3 - 2n^2} + n^2} \] \[ = \frac{-2n^2}{\sqrt[3]{(n^3 - 2n^2)^2} + n \sqrt[3]{n^3 - 2n^2} + n^2} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$: \[ = \frac{-2}{\sqrt[3]{\left(\frac{n^3 - 2n^2}{n^3}\right)^2} + \sqrt[3]{\frac{n^3 - 2n^2}{n^3}} + 1} \] \[ = \frac{-2}{\sqrt[3]{\left(1 - \frac{2}{n}\right)^2} + \sqrt[3]{1 - \frac{2}{n}} + 1} \] Bước 4: Tính giới hạn khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-2}{\sqrt[3]{\left(1 - \frac{2}{n}\right)^2} + \sqrt[3]{1 - \frac{2}{n}} + 1} = \frac{-2}{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1} + 1} = \frac{-2}{1 + 1 + 1} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} \] Vậy giá trị của giới hạn là $-\frac{2}{3}$. Đáp án đúng là: B. $-\frac{2}{3}$. Câu 8: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n} = \left( \sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n}}{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n}} \] Bước 2: Áp dụng công thức nhân liên hợp: \[ = \frac{(n^2 + 2n) - (n^2 - 2n)}{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n}} = \frac{4n}{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n}} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho \( n \): \[ = \frac{4n}{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n}} = \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}}} \] Bước 4: Tính giới hạn khi \( n \to +\infty \): \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}}} = \frac{4}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \] Vậy giá trị của giới hạn là \( 2 \). Đáp án đúng là: B. 2. Câu 9: Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + a^2 n} - \sqrt{n^2 + a + 2n + 1})$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + a^2 n} - \sqrt{n^2 + a + 2n + 1}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + a^2 n} - \sqrt{n^2 + a + 2n + 1})(\sqrt{n^2 + a^2 n} + \sqrt{n^2 + a + 2n + 1})}{\sqrt{n^2 + a^2 n} + \sqrt{n^2 + a + 2n + 1}} \] Bước 2: Tính tử số: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 + a^2 n) - (n^2 + a + 2n + 1)}{\sqrt{n^2 + a^2 n} + \sqrt{n^2 + a + 2n + 1}} \] \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{a^2 n - a - 2n - 1}{\sqrt{n^2 + a^2 n} + \sqrt{n^2 + a + 2n + 1}} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho \(n\): \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{a^2 - \frac{a}{n} - 2 - \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n}} + \sqrt{1 + \frac{a}{n^2} + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}} \] Bước 4: Tìm giới hạn khi \(n \to \infty\): \[ = \frac{a^2 - 2}{2} \] Để giới hạn này bằng 0, ta cần: \[ \frac{a^2 - 2}{2} = 0 \implies a^2 - 2 = 0 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2} \] Vậy có hai giá trị của \(a\) thỏa mãn điều kiện: \(a = \sqrt{2}\) và \(a = -\sqrt{2}\). Do đó, số giá trị của \(a\) là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 10: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 2n - 1} - \sqrt{2n^2 + n})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 2n - 1} - \sqrt{2n^2 + n}) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(\sqrt{n^2 + 2n - 1} - \sqrt{2n^2 + n})(\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{2n^2 + n})}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{2n^2 + n}} \right) \] Bước 2: Tính tử số: \[ (n^2 + 2n - 1) - (2n^2 + n) = n^2 + 2n - 1 - 2n^2 - n = -n^2 + n - 1 \] Bước 3: Thay vào biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{-n^2 + n - 1}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{2n^2 + n}} \right) \] Bước 4: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^2$: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{-1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + \sqrt{2 + \frac{1}{n}}} \right) \] Bước 5: Tính giới hạn khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{-1 + 0 - 0}{\sqrt{1 + 0 - 0} + \sqrt{2 + 0}} \right) = \frac{-1}{1 + \sqrt{2}} \] Bước 6: Rút gọn kết quả: \[ \frac{-1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{-1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{-1 + \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{-1 + \sqrt{2}}{-1} = 1 - \sqrt{2} \] Vậy giá trị của giới hạn là $1 - \sqrt{2}$. Đáp án đúng là: B. $1 - \sqrt{2}$. Câu 11: Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 8n} - n + a^2)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt{n^2 - 8n} - n = \left( \sqrt{n^2 - 8n} - n \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 - 8n} + n}{\sqrt{n^2 - 8n} + n} \] Bước 2: Tính toán biểu thức nhân liên hợp: \[ \sqrt{n^2 - 8n} - n = \frac{(n^2 - 8n) - n^2}{\sqrt{n^2 - 8n} + n} = \frac{-8n}{\sqrt{n^2 - 8n} + n} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho \(n\) để dễ dàng tính giới hạn: \[ \frac{-8n}{\sqrt{n^2 - 8n} + n} = \frac{-8}{\sqrt{1 - \frac{8}{n}} + 1} \] Bước 4: Tính giới hạn khi \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-8}{\sqrt{1 - \frac{8}{n}} + 1} = \frac{-8}{\sqrt{1 - 0} + 1} = \frac{-8}{2} = -4 \] Bước 5: Thêm \(a^2\) vào kết quả trên: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 8n} - n + a^2) = -4 + a^2 \] Bước 6: Để giới hạn này bằng 0, ta cần: \[ -4 + a^2 = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2 \] Vậy, có hai giá trị nguyên của \(a\) thỏa mãn điều kiện là \(a = 2\) và \(a = -2\). Đáp án đúng là: B. 2.