cho tam giác ABC. có AD là đường trung tuyến. Trọng tâm là điểm G , đường thẳng đi qua G cắt AB lần lượt tại E , F . Từ B và C kẻ đường thẳng song song với È cắt AD lần lượt tại M , N a) BE/ AE = MG/AH...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của trọng tâm và đường trung tuyến trong tam giác. a) Chứng minh $\frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AH}$ 1. Tính chất trọng tâm: Trọng tâm \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số \( \frac{2}{3} \) và \( \frac{1}{3} \). Do đó, \( AG = \frac{2}{3}AD \) và \( GD = \frac{1}{3}AD \). 2. Tính chất đường thẳng song song: Vì \( BM \parallel EF \) và \( CN \parallel EF \), ta có các tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle AMG \) đồng dạng theo tỉ số \( \frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG} \). 3. Áp dụng tỉ số: Ta biết \( AG = \frac{2}{3}AD \). Do đó, \( \frac{MG}{AG} = \frac{MG}{\frac{2}{3}AD} = \frac{3MG}{2AD} \). 4. Tính chất đường trung tuyến: \( AH = \frac{1}{2}AD \) vì \( D \) là trung điểm của \( BC \). 5. Kết luận: \[ \frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG} = \frac{3MG}{2AD} = \frac{MG}{AH} \] b) Chứng minh \( \frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1 \) 1. Tính chất trọng tâm: Trọng tâm \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số \( \frac{2}{3} \) và \( \frac{1}{3} \). Do đó, \( AG = \frac{2}{3}AD \) và \( GD = \frac{1}{3}AD \). 2. Tính chất đường thẳng song song: Vì \( BM \parallel EF \) và \( CN \parallel EF \), ta có các tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle AMG \) đồng dạng theo tỉ số \( \frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG} \). 3. Áp dụng tỉ số: Ta biết \( AG = \frac{2}{3}AD \). Do đó, \( \frac{MG}{AG} = \frac{MG}{\frac{2}{3}AD} = \frac{3MG}{2AD} \). 4. Tính chất đường trung tuyến: \( AH = \frac{1}{2}AD \) vì \( D \) là trung điểm của \( BC \). 5. Kết luận: \[ \frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AH} \] \[ \frac{CF}{AF} = \frac{NG}{AH} \] 6. Tổng tỉ số: \[ \frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = \frac{MG}{AH} + \frac{NG}{AH} = \frac{MG + NG}{AH} = \frac{GN}{AH} = 1 \] Vậy, ta đã chứng minh được: \[ \frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AH} \] \[ \frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1 \]