giải giúp em với ạ

Câu 3. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 7^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ cơ bản. Công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = 7^x \): 1. Xác định \( a = 7 \). 2. Tính \( \ln 7 \). Do đó, nguyên hàm của \( 7^x \) là: \[ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \] Vậy đáp án đúng là: A. \( \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \) Đáp án: A. \( \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \) Câu 4. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^{\frac{3}{2}} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của nguyên hàm. Nguyên hàm của \( x^n \) là \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm. Ở đây, \( n = \frac{3}{2} \). Do đó, ta có: \[ \int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C \] Bước 3: Tính toán chi tiết. \[ \int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C \] \[ = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^{\frac{3}{2}} \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \) Đáp số: C. \( \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \) Câu 5. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x - 2x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x + C_1 \). - Nguyên hàm của \( -2x \) là \( -x^2 + C_2 \). Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau. \[ \int (e^x - 2x) \, dx = \int e^x \, dx - \int 2x \, dx = e^x - x^2 + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x - 2x \) là: \[ e^x - x^2 + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( e^x - x^2 + C \). Câu 6. Để tìm các nguyên hàm của hàm số \( y = \cos x + x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( \cos x \). Nguyên hàm của \( \cos x \) là \( \sin x \). Bước 2: Tính nguyên hàm của \( x \). Nguyên hàm của \( x \) là \( \frac{x^2}{2} \). Bước 3: Kết hợp các kết quả trên và thêm hằng số \( C \). Do đó, các nguyên hàm của hàm số \( y = \cos x + x \) là: \[ \int (\cos x + x) \, dx = \sin x + \frac{x^2}{2} + C \] Vậy đáp án đúng là: A. \( \sin x + \frac{1}{2}x^2 + C \) Đáp án: A. \( \sin x + \frac{1}{2}x^2 + C \) Câu 7. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} + \sin x \), chúng ta sẽ tính riêng từng phần của hàm số này. 1. Tìm nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \sin x \): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_2 \] Kết hợp hai kết quả trên lại, ta có: \[ \int \left( \frac{1}{x} + \sin x \right) \, dx = \ln |x| - \cos x + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân tổng quát. Do đó, đáp án đúng là: D. \( \ln |x| - \cos x + C \). Câu 8. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = x^2 - 3x + \frac{1}{x} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong hàm số: - Nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( -3x \): \[ \int -3x \, dx = -3 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = -\frac{3x^2}{2} + C_2 \] - Nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_3 \] 2. Gộp các nguyên hàm lại: \[ \int \left( x^2 - 3x + \frac{1}{x} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng hợp từ \( C_1 \), \( C_2 \), và \( C_3 \). Do đó, họ nguyên hàm của hàm số \( y = x^2 - 3x + \frac{1}{x} \) là: \[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C$. Câu 9. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( x^2 \). \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( \frac{2}{x^2} \). \[ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên lại để tìm nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int f(x) \, dx = \int \left( x^2 + \frac{2}{x^2} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C$. Câu 10. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 4 + \cos x \). Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần của hàm số. - Nguyên hàm của \( 4 \) là \( 4x \). - Nguyên hàm của \( \cos x \) là \( \sin x \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = 4 + \cos x \) sẽ là: \[ \int f(x) \, dx = \int (4 + \cos x) \, dx = 4x + \sin x + C \] Bước 2: So sánh với các lựa chọn đã cho. A. \( \int f(x) \, dx = -\sin x + C \) B. \( \int f(x) \, dx = 4x + \sin x + C \) C. \( \int f(x) \, dx = 4x - \sin x + C \) D. \( \int f(x) \, dx = 4x + \cos x + C \) Như vậy, lựa chọn đúng là: B. \( \int f(x) \, dx = 4x + \sin x + C \) Đáp án: B. \( \int f(x) \, dx = 4x + \sin x + C \) Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 1 + e^{2x} \). Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần của hàm số. \[ \int f(x) \, dx = \int (1 + e^{2x}) \, dx \] Bước 2: Tính nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ. \[ \int 1 \, dx = x + C_1 \] \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên lại. \[ \int f(x) \, dx = x + \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân. Do đó, khẳng định đúng là: D. $\int f(x) \, dx = x + \frac{1}{2} e^{2x} + C$. Đáp án: D. $\int f(x) \, dx = x + \frac{1}{2} e^{2x} + C$. Câu 12. Ta có $\int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$. Do đó, $F(x)=\ln |x|+C$. Đạo hàm của $F(x)$ là: \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(\ln |x| + C) = \frac{1}{x}. \] Vậy khẳng định đúng là: C. $F'(x) = \frac{1}{x}$.