Giải giúp tui cái này với … PHƯƠnG TRÌnH mẶT PHẲnG,Dạng 1. Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng,,Ví dụ 1.1.,Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(\alpha)$ song song với giá của hai vectơ,$\overrightarrow a=(1;-2;3),~\overrightarrow b=(3;0;5).$ Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$,Lời giải,,Ví dụ 1.2.,Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~2y+x+3z-1=0.$ Xác định một vectơ,pháp tuyến của mặt phẳng (P)?,. Lời giải,,Ví dụ 1.3.,Trong không gian Oxyz, cho $A(2;1;-3);B(0;-2;5)$ và $C(1;1;3)$ Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow n$ có,phương vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$,Lời giải,

Question

Giải giúp tui cái này với … PHƯƠnG TRÌnH mẶT PHẲnG,Dạng 1. Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng,

,Ví dụ 1.1.,Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(\alpha)$ song song với giá của hai vectơ,$\overrightarrow a=(1;-2;3),~\overrightarrow b=(3;0;5).$ Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$,Lời giải,

,Ví dụ 1.2.,Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~2y+x+3z-1=0.$ Xác định một vectơ,pháp tuyến của mặt phẳng (P)?,>. Lời giải,

,Ví dụ 1.3.,Trong không gian Oxyz, cho $A(2;1;-3);B(0;-2;5)$ và $C(1;1;3)$ Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow n$ có,phương vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$,Lời giải,

Accepted Answer

Ví dụ 1.
Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$, ta cần tìm một vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Ta thực hiện phép nhân vectơ (còn gọi là tích vector) của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến.

Ta có:
$$
\overrightarrow{a} = (1, -2, 3)
$$
$$
\overrightarrow{b} = (3, 0, 5)
$$

Phép nhân vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính như sau:
$$
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & -2 & 3 \
3 & 0 & 5
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}((-2) \cdot 5 - 3 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 5 - 3 \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - (-2) \cdot 3)
$$
$$
= \mathbf{i}(-10 - 0) - \mathbf{j}(5 - 9) + \mathbf{k}(0 + 6)
$$
$$
= -10\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
$$
$$
= (-10, 4, 6)
$$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là:
$$
\overrightarrow{n} = (-10, 4, 6)
$$

Đáp số: $\overrightarrow{n} = (-10, 4, 6)$

Ví dụ 1.
Mặt phẳng $(P):~2y+x+3z-1=0$ có dạng tổng quát là $x + 2y + 3z - 1 = 0$.

Ta nhận thấy rằng, trong phương trình tổng quát của mặt phẳng, các hệ số của $x$, $y$, và $z$ tương ứng là 1, 2, và 3.

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ có các thành phần là các hệ số này.

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (1, 2, 3)$.

Đáp số: $\vec{n} = (1, 2, 3)$.

Ví dụ 1.
Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n}$ có phương vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:
   - Vectơ $\overrightarrow{AB}$:
     $$
     \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, -2 - 1, 5 + 3) = (-2, -3, 8)
     $$
   - Vectơ $\overrightarrow{AC}$:
     $$
     \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 2, 1 - 1, 3 + 3) = (-1, 0, 6)
     $$

2. Tìm vectơ $\overrightarrow{n}$ bằng cách tính tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:
   - Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)$ được tính theo công thức:
     $$
     \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right)
     $$
   - Áp dụng vào vectơ $\overrightarrow{AB} = (-2, -3, 8)$ và $\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 6)$:
     $$
     \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left( (-3) \cdot 6 - 8 \cdot 0, 8 \cdot (-1) - (-2) \cdot 6, (-2) \cdot 0 - (-3) \cdot (-1) \right)
     $$
     $$
     \overrightarrow{n} = \left( -18 - 0, -8 + 12, 0 - 3 \right) = (-18, 4, -3)
     $$

Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n}$ là $(-18, 4, -3)$.