Giải giúp tui cái này với …

Ví dụ 1. Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$, ta cần tìm một vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Ta thực hiện phép nhân vectơ (còn gọi là tích vector) của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến. Ta có: \[ \overrightarrow{a} = (1, -2, 3) \] \[ \overrightarrow{b} = (3, 0, 5) \] Phép nhân vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2) \cdot 5 - 3 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 5 - 3 \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - (-2) \cdot 3) \] \[ = \mathbf{i}(-10 - 0) - \mathbf{j}(5 - 9) + \mathbf{k}(0 + 6) \] \[ = -10\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k} \] \[ = (-10, 4, 6) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ \overrightarrow{n} = (-10, 4, 6) \] Đáp số: $\overrightarrow{n} = (-10, 4, 6)$ Ví dụ 1. Mặt phẳng $(P):~2y+x+3z-1=0$ có dạng tổng quát là $x + 2y + 3z - 1 = 0$. Ta nhận thấy rằng, trong phương trình tổng quát của mặt phẳng, các hệ số của $x$, $y$, và $z$ tương ứng là 1, 2, và 3. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ có các thành phần là các hệ số này. Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (1, 2, 3)$. Đáp số: $\vec{n} = (1, 2, 3)$. Ví dụ 1. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n}$ có phương vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, -2 - 1, 5 + 3) = (-2, -3, 8) \] - Vectơ $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 2, 1 - 1, 3 + 3) = (-1, 0, 6) \] 2. Tìm vectơ $\overrightarrow{n}$ bằng cách tính tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right) \] - Áp dụng vào vectơ $\overrightarrow{AB} = (-2, -3, 8)$ và $\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 6)$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left( (-3) \cdot 6 - 8 \cdot 0, 8 \cdot (-1) - (-2) \cdot 6, (-2) \cdot 0 - (-3) \cdot (-1) \right) \] \[ \overrightarrow{n} = \left( -18 - 0, -8 + 12, 0 - 3 \right) = (-18, 4, -3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n}$ là $(-18, 4, -3)$.