help meee ........ u 4: Một bồn chứa nước gồm 2 nửa đối xứng với nhau. Biết bề mặt,xung quanh bồn được tạo thành từ việc quay một phần các đồ,,thị hàm số $y=x-4\sqrt2;y=x+4\sqrt2$ và $y=\frac1x$ quanh trục là,đường thẳng $y=-x$ như hình vẽ dưới. Người ta bơm nước vào,bồn với công suất không đổi $3\pi(m^3/giờ).$ Vào thời điểm tốc độ,dâng lên của nước là 0,5 (m/giờ) thì thể tích nước trong bồn là,bao nhiêu $m^3,$ biết nước đã dâng lên quá nửa bồn (Kết quả làm,tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy),Đáp án:,

Question

help meee ........ u 4: Một bồn chứa nước gồm 2 nửa đối xứng với nhau. Biết bề mặt,xung quanh bồn được tạo thành từ việc quay một phần các đồ,

,thị hàm số $y=x-4\sqrt2;y=x+4\sqrt2$ và $y=\frac1x$ quanh trục là,đường thẳng $y=-x$ như hình vẽ dưới. Người ta bơm nước vào,bồn với công suất không đổi $3\pi(m^3/giờ).$ Vào thời điểm tốc độ,dâng lên của nước là 0,5 (m/giờ) thì thể tích nước trong bồn là,bao nhiêu $m^3,$ biết nước đã dâng lên quá nửa bồn (Kết quả làm,tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy),Đáp án:,

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định diện tích bề mặt xung quanh của bồn.
2. Tính thể tích của bồn.
3. Xác định thể tích nước trong bồn khi tốc độ dâng lên của nước là 0,5 m/giờ.

Bước 1: Xác định diện tích bề mặt xung quanh của bồn

Bề mặt xung quanh của bồn được tạo thành từ việc quay các đồ thị hàm số $ y = x - 4\sqrt{2} $, $ y = x + 4\sqrt{2} $ và $ y = \frac{1}{x} $ quanh trục $ y = -x $.

Diện tích bề mặt xung quanh của bồn có thể được tính bằng cách sử dụng phương pháp quay quanh trục. Tuy nhiên, do tính chất đối xứng và phức tạp của bài toán, chúng ta sẽ tập trung vào việc tính thể tích của bồn.

Bước 2: Tính thể tích của bồn

Thể tích của bồn có thể được tính bằng cách sử dụng phương pháp quay quanh trục. Ta sẽ tính thể tích của một nửa bồn và sau đó nhân đôi.

Tính thể tích của một nửa bồn

Ta sẽ tính thể tích của phần giữa hai đường thẳng $ y = x - 4\sqrt{2} $ và $ y = x + 4\sqrt{2} $ quay quanh trục $ y = -x $.

Phương trình của trục $ y = -x $ có dạng $ y = -x $. Ta sẽ chuyển sang hệ tọa độ mới để dễ dàng tính toán.

Trong hệ tọa độ mới, ta có:
$$ u = \frac{x + y}{\sqrt{2}} $$
$$ v = \frac{y - x}{\sqrt{2}} $$

Phương trình của các đường thẳng trong hệ tọa độ mới là:
$$ v = -4\sqrt{2} $$
$$ v = 4\sqrt{2} $$

Phương trình của đường cong $ y = \frac{1}{x} $ trong hệ tọa độ mới là:
$$ v = \frac{1}{u} $$

Thể tích của một nửa bồn có thể được tính bằng cách tích phân:
$$ V_{\text{half}} = \pi \int_{-4\sqrt{2}}^{4\sqrt{2}} \left( \frac{1}{u} \right)^2 du $$

Tính tích phân:
$$ V_{\text{half}} = \pi \int_{-4\sqrt{2}}^{4\sqrt{2}} \frac{1}{u^2} du $$
$$ V_{\text{half}} = \pi \left[ -\frac{1}{u} \right]_{-4\sqrt{2}}^{4\sqrt{2}} $$
$$ V_{\text{half}} = \pi \left( -\frac{1}{4\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{2}} \right) $$
$$ V_{\text{half}} = \pi \left( \frac{1}{4\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{2}} \right) $$
$$ V_{\text{half}} = \pi \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) $$
$$ V_{\text{half}} = \pi \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right) $$
$$ V_{\text{half}} = \frac{\pi \sqrt{2}}{4} $$

Thể tích của cả bồn là:
$$ V_{\text{total}} = 2 \times V_{\text{half}} = 2 \times \frac{\pi \sqrt{2}}{4} = \frac{\pi \sqrt{2}}{2} $$

Bước 3: Xác định thể tích nước trong bồn khi tốc độ dâng lên của nước là 0,5 m/giờ

Thể tích nước trong bồn khi tốc độ dâng lên của nước là 0,5 m/giờ có thể được tính bằng cách sử dụng công suất bơm nước.

Công suất bơm nước là 3π m³/giờ. Tốc độ dâng lên của nước là 0,5 m/giờ.

Thể tích nước trong bồn khi tốc độ dâng lên của nước là 0,5 m/giờ là:
$$ V_{\text{water}} = \frac{3\pi}{0,5} = 6\pi $$

Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy:
$$ V_{\text{water}} \approx 18,8 \text{ m}^3 $$

Đáp án: 18,8 m³