nhà ông An muốn xây một hồ chứa nước có dạng một khối hộp chữ nhật có nắp đậy có thể tích bằng 576m khối. Đáy Hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá tiền thuê nhân công để xây hồ là 480 000 đồng/m vuông. Biết chỉ phí thuê công nhân ít nhất để xây được khối lượng cho ông mặt là a triệu đồng. Hãy tính giá trị a (làm cho đến hàng đơn vị)

Question

vykute · Accepted Answer

Gọi $\displaystyle x,\ y,\ h$ lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của hồ chứa nước, $\displaystyle ( x >0,\ y >0,\ h >0,\ m)$
Ta có: $\displaystyle y=2x$.
Thể tích chứa nước: $\displaystyle V=xyh\Leftrightarrow h=\frac{V}{xy} =\frac{576}{x.2x} =\frac{288}{x^{2}}$
Diện tích cần xây dựng hồ chứa nước:
$\displaystyle S( x) =2xy+2xh+2yh=2x.2x+2x.\frac{288}{x^{2}} +2.2x.\frac{288}{x^{2}}$
$\displaystyle =4x^{2} +\frac{1728}{x}$
Để chi phí nhân công là ít nhất thì diện tích cần xây dựng là nhỏ nhất mà vẫn đạt được thể tích như mong muốn.
Bài toán trở thành tìm x để $\displaystyle S( x)$ nhỏ nhất.
$\displaystyle S( x) =4x^{2} +\frac{1728}{x} ;\ S'( x) =0\Leftrightarrow 8x-\frac{1728}{x^{2}} =0\Leftrightarrow x=6$
Vẽ bảng biến thiên thấy kích thước của hồ nhỏ nhất khi: rộng 6m, dài 12m, cao 8m, diện tích cần xây: $\displaystyle 432m^{2}$
. Chi phí ít nhất là: $\displaystyle 432 imes 480\ 000=207\ 360\ 000$ (đồng).

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm chiều dài và chiều rộng của đáy hồ:
   - Gọi chiều rộng của đáy hồ là $ x $ (m).
   - Chiều dài của đáy hồ là $ 2x $ (m).

2. Tính thể tích của hồ:
   - Thể tích của hồ là $ V = x \times 2x \times h = 2x^2h $.
   - Theo đề bài, thể tích hồ là 576 m³, nên ta có:
     $$
     2x^2h = 576
     $$

3. Tìm diện tích toàn phần của hồ:
   - Diện tích đáy hồ là $ S_{\text{đáy}} = x \times 2x = 2x^2 $.
   - Diện tích xung quanh hồ là $ S_{\text{xung quanh}} = 2(x + 2x)h = 6xh $.
   - Diện tích toàn phần của hồ là:
     $$
     S_{\text{toàn phần}} = 2S_{\text{đáy}} + S_{\text{xung quanh}} = 2(2x^2) + 6xh = 4x^2 + 6xh
     $$

4. Tính chi phí thuê nhân công:
   - Chi phí thuê nhân công là 480 000 đồng/m².
   - Tổng chi phí là:
     $$
     C = 480 000 \times (4x^2 + 6xh)
     $$

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí:
   - Ta cần tối thiểu hóa biểu thức $ 4x^2 + 6xh $.
   - Từ $ 2x^2h = 576 $, ta có $ h = \frac{576}{2x^2} = \frac{288}{x^2} $.
   - Thay vào biểu thức diện tích toàn phần:
     $$
     S_{\text{toàn phần}} = 4x^2 + 6x \left(\frac{288}{x^2}\right) = 4x^2 + \frac{1728}{x}
     $$
   - Để tối thiểu hóa $ S_{\text{toàn phần}} $, ta lấy đạo hàm và đặt bằng 0:
     $$
     \frac{d}{dx}(4x^2 + \frac{1728}{x}) = 8x - \frac{1728}{x^2} = 0
     $$
     $$
     8x = \frac{1728}{x^2}
     $$
     $$
     8x^3 = 1728
     $$
     $$
     x^3 = 216
     $$
     $$
     x = 6
     $$
   - Khi đó, $ h = \frac{288}{6^2} = 8 $.

6. Tính diện tích toàn phần và chi phí:
   - Diện tích toàn phần:
     $$
     S_{\text{toàn phần}} = 4(6)^2 + 6(6)(8) = 144 + 288 = 432 \text{ m}^2
     $$
   - Chi phí:
     $$
     C = 480 000 \times 432 = 207 360 000 \text{ đồng}
     $$
   - Đổi ra triệu đồng:
     $$
     a = \frac{207 360 000}{1 000 000} = 207.36
     $$

7. Làm tròn đến hàng đơn vị:
   - Giá trị $ a $ làm tròn đến hàng đơn vị là 207.

Vậy giá trị $ a $ là 207.

nhà ông An muốn xây một hồ chứa nước có dạng một khối hộp chữ nhật có nắp đậy có thể tích bằng 576m khối. Đáy Hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá tiền thuê nhân công để xây hồ là 4...