Giúp e vs ạ

Bài 1 a) Rút gọn biểu thức $P$: Điều kiện xác định: $x \geq 0, x \neq 9$. Ta có: \[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số của các phân thức: \[ P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) - (3x + 9)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \] Tính tử số: \[ \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) - (3x + 9) \] \[ = x - 3\sqrt{x} + 2x + 6\sqrt{x} - 3x - 9 \] \[ = x + 2x - 3x - 3\sqrt{x} + 6\sqrt{x} - 9 \] \[ = 3\sqrt{x} - 9 \] Mẫu số: \[ (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3) = x - 9 \] Vậy: \[ P = \frac{3\sqrt{x} - 9}{x - 9} \] \[ P = \frac{3(\sqrt{x} - 3)}{x - 9} \] \[ P = \frac{3(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \] \[ P = \frac{3}{\sqrt{x} + 3} \] b) Tìm giá trị của $x$ để $P = \frac{1}{3}$: \[ \frac{3}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{3} \] \[ 3 = \frac{\sqrt{x} + 3}{3} \] \[ 9 = \sqrt{x} + 3 \] \[ \sqrt{x} = 6 \] \[ x = 36 \] c) Tìm giá trị lớn nhất của $P$: \[ P = \frac{3}{\sqrt{x} + 3} \] Biểu thức $\frac{3}{\sqrt{x} + 3}$ đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất. Mẫu số nhỏ nhất khi $\sqrt{x} = 0$, tức là $x = 0$. Khi đó: \[ P = \frac{3}{0 + 3} = 1 \] Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là 1, đạt được khi $x = 0$. Bài 2 Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 1 \) a) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 9 \): Thay \( x = 9 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{9 + 2}{\sqrt{9}} = \frac{11}{3} \] b) Chứng minh \( B = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \): Biểu thức \( B \) là: \[ B = \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3 - \sqrt{x}}{x - 1} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số của hai phân thức: \[ B = \frac{(2\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{(3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{(2\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1) + (3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Tính tử số: \[ (2\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1) = 2x + 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} - 3 = 2x - \sqrt{x} - 3 \] \[ (3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1) = 3\sqrt{x} - 3 - x + \sqrt{x} = -x + 4\sqrt{x} - 3 \] Cộng hai tử số lại: \[ 2x - \sqrt{x} - 3 - x + 4\sqrt{x} - 3 = x + 3\sqrt{x} - 6 \] Do đó: \[ B = \frac{x + 3\sqrt{x} - 6}{x - 1} \] Chúng ta thấy rằng: \[ x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) \] Vậy: \[ B = \frac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Chúng ta nhận thấy rằng: \[ B = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] c) Tìm tất cả các giá trị của \( x \) để \( A.B = 4 \): Thay \( A \) và \( B \) vào: \[ A.B = \left( \frac{x + 2}{\sqrt{x}} \right) \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right) = 4 \] Rút gọn: \[ \frac{(x + 2) \cdot 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} + 1)} = 4 \] \[ \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x} + 1} = 4 \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} + 1 \): \[ 2(x + 2) = 4(\sqrt{x} + 1) \] \[ 2x + 4 = 4\sqrt{x} + 4 \] Chuyển các hạng tử sang một vế: \[ 2x = 4\sqrt{x} \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x = 2\sqrt{x} \] 平方两边： \[ x^2 = 4x \] 移项并分解因式： \[ x^2 - 4x = 0 \] \[ x(x - 4) = 0 \] 解得： \[ x = 0 \quad \text{或} \quad x = 4 \] 由于 \( x > 0 \)，所以 \( x = 4 \) 是唯一符合条件的解。 综上所述，当 \( x = 4 \) 时，\( A.B = 4 \)。 Bài 3 a) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 9 \): \[ A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] Thay \( x = 9 \): \[ A = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{9} + 1} = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4} \] b) Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \): \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{5}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2\sqrt{x} - 4}{x - 1} \] Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( B \) dưới dạng có cùng mẫu số: \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} - \frac{5(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} + \frac{(2\sqrt{x} - 4)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) - 5(\sqrt{x} - 1) + (2\sqrt{x} - 4)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Rút gọn tử số: \[ \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) - 5(\sqrt{x} - 1) + (2\sqrt{x} - 4) \] \[ = x + \sqrt{x} - 5\sqrt{x} + 5 + 2\sqrt{x} - 4 \] \[ = x - 2\sqrt{x} + 1 \] \[ = (\sqrt{x} - 1)^2 \] Do đó: \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \] c) Tìm giá trị của \( x \) để \( \frac{B}{A} < \frac{3}{4} \): \[ \frac{B}{A} = \frac{\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} \] Ta cần tìm \( x \) sao cho: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} < \frac{3}{4} \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} \): \[ \sqrt{x} - 1 < \frac{3}{4}\sqrt{x} \] Chuyển \( \frac{3}{4}\sqrt{x} \) sang vế trái: \[ \sqrt{x} - \frac{3}{4}\sqrt{x} < 1 \] \[ \frac{1}{4}\sqrt{x} < 1 \] Nhân cả hai vế với 4: \[ \sqrt{x} < 4 \] 平方两边： \[ x < 16 \] 因此，\( x \) 的值应满足 \( 0 < x < 16 \) 且 \( x \neq 1 \)。 最终答案是： \[ 0 < x < 16, x \neq 1 \]