Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 97. a) Ta có: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x - 2} \] Khi \( x \to 2^+ \), ta thấy rằng \( x > 2 \). Do đó, \( x - 2 > 0 \). Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x - 2} = \frac{\sqrt{(x - 2)(x + 2)}}{x - 2} \] Khi \( x \to 2^+ \), ta có: \[ \frac{\sqrt{(x - 2)(x + 2)}}{x - 2} = \frac{\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}}{x - 2} = \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x - 2}} \] Khi \( x \to 2^+ \), ta có: \[ \sqrt{x + 2} \to \sqrt{4} = 2 \] \[ \sqrt{x - 2} \to 0^+ \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x - 2}} = \frac{2}{0^+} = +\infty \] Vậy: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x - 2} = +\infty \] b) Ta có: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2} \] Khi \( x \to 2^+ \), ta thấy rằng \( x > 2 \). Do đó, \( |2 - x| = x - 2 \). Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2} = \frac{x - 2}{2x^2 - 5x + 2} \] Ta phân tích mẫu số: \[ 2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2) \] Do đó: \[ \frac{x - 2}{(2x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{2x - 1} \] Khi \( x \to 2^+ \), ta có: \[ 2x - 1 \to 3 \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{2x - 1} = \frac{1}{3} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2} = \frac{1}{3} \] c) Ta có: \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2} \] Khi \( x \to 2^- \), ta thấy rằng \( x < 2 \). Do đó, \( |2 - x| = 2 - x \). Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2} = \frac{2 - x}{2x^2 - 5x + 2} \] Ta phân tích mẫu số: \[ 2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2) \] Do đó: \[ \frac{2 - x}{(2x - 1)(x - 2)} = \frac{-(x - 2)}{(2x - 1)(x - 2)} = \frac{-1}{2x - 1} \] Khi \( x \to 2^- \), ta có: \[ 2x - 1 \to 3 \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{2x - 1} = -\frac{1}{3} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2} = -\frac{1}{3} \] Câu 98. a) Xét tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại điểm $x = 1$: - Ta có $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x + 3}{x - 1}$. - Để tính giới hạn này, ta thay trực tiếp $x = 1$ vào biểu thức: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{1 + 3}{1 - 1} = \frac{4}{0} \] Kết quả này là dạng vô định $\frac{4}{0}$, do đó giới hạn không tồn tại. - Vì giới hạn không tồn tại, nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm $x = 1$. b) Xét tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại điểm $x = 1$: - Ta có $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$. - Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2)}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3) - 4}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{1 + 3} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \] - Ta thấy rằng $\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{4}$ và $f(1) = \frac{1}{4}$. - Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$, nên hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 1$. Câu 99. Để hàm số \( f(x) \) liên tục trên \(\mathbb{R}\), ta cần kiểm tra tính liên tục tại điểm \( x = 2 \). 1. Tính giá trị của hàm số tại \( x = 2 \): - Khi \( x \leq 2 \), ta có \( f(x) = m^2 x^2 \). Do đó, \( f(2) = m^2 \cdot 2^2 = 4m^2 \). 2. Tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 2 từ bên trái: - Khi \( x \to 2^- \), ta có \( f(x) = m^2 x^2 \). Do đó, \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = 4m^2 \). 3. Tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 2 từ bên phải: - Khi \( x \to 2^+ \), ta có \( f(x) = (1 - m)x \). Do đó, \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = (1 - m) \cdot 2 = 2(1 - m) \). 4. Yêu cầu tính liên tục tại \( x = 2 \): - Để hàm số liên tục tại \( x = 2 \), ta cần \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \). - Điều này dẫn đến phương trình: \( 4m^2 = 2(1 - m) \). 5. Giải phương trình: \[ 4m^2 = 2(1 - m) \] \[ 4m^2 = 2 - 2m \] \[ 4m^2 + 2m - 2 = 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ 2m^2 + m - 1 = 0 \] 6. Giải phương trình bậc hai: \[ 2m^2 + m - 1 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -1 \): \[ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \] \[ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \] \[ m = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ m = \frac{-1 \pm 3}{4} \] \[ m = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-4}{4} = -1 \] Vậy, có hai giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số \( f(x) \) liên tục trên \(\mathbb{R}\) là \( m = \frac{1}{2} \) hoặc \( m = -1 \). Đáp số: 2 giá trị thực của tham số \( m \). Câu 100. Để chứng minh rằng phương trình \(x^3 - 3x + 1 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt, ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. Xét hàm số \(f(x) = x^3 - 3x + 1\). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] 3. Xác định dấu của đạo hàm: - Khi \(x < -1\), ta có \(f'(x) > 0\). - Khi \(-1 < x < 1\), ta có \(f'(x) < 0\). - Khi \(x > 1\), ta có \(f'(x) > 0\). 4. Xét giới hạn của hàm số: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \] \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \] 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] 6. Khảo sát sự biến thiên của hàm số: - Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((-\infty, -1)\). - Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-1, 1)\). - Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((1, +\infty)\). 7. Kết luận về số nghiệm: - Vì \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) và \(f(-1) = 3 > 0\), nên phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((-\infty, -1)\). - Vì \(f(-1) = 3 > 0\) và \(f(1) = -1 < 0\), nên phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((-1, 1)\). - Vì \(f(1) = -1 < 0\) và \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), nên phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((1, +\infty)\). Từ đó, ta kết luận rằng phương trình \(x^3 - 3x + 1 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt. Đáp số: Phương trình \(x^3 - 3x + 1 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.