giúp tôi với

Câu 19. A. Ta có: \[ \overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 5\overrightarrow{c} \] Thay các giá trị của \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), và \(\overrightarrow{c}\): \[ \overrightarrow{u} = 3(2, -5, 3) - (0, 2, -1) + 5(1, 7, 2) \] Tính từng phần: \[ 3(2, -5, 3) = (6, -15, 9) \] \[ 5(1, 7, 2) = (5, 35, 10) \] Cộng lại: \[ \overrightarrow{u} = (6, -15, 9) - (0, 2, -1) + (5, 35, 10) = (6 - 0 + 5, -15 - 2 + 35, 9 + 1 + 10) = (11, 18, 20) \] Vậy \(\overrightarrow{u} = (11, 22, 18)\) là sai. B. Ta có: \[ \overrightarrow{x} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \frac{4}{3}\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} \] Thay các giá trị của \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), và \(\overrightarrow{c}\): \[ \overrightarrow{x} = \frac{1}{2}(2, -5, 3) - \frac{4}{3}(0, 2, -1) - 2(1, 7, 2) \] Tính từng phần: \[ \frac{1}{2}(2, -5, 3) = (1, -\frac{5}{2}, \frac{3}{2}) \] \[ \frac{4}{3}(0, 2, -1) = (0, \frac{8}{3}, -\frac{4}{3}) \] \[ 2(1, 7, 2) = (2, 14, 4) \] Cộng lại: \[ \overrightarrow{x} = (1, -\frac{5}{2}, \frac{3}{2}) - (0, \frac{8}{3}, -\frac{4}{3}) - (2, 14, 4) = (1 - 0 - 2, -\frac{5}{2} - \frac{8}{3} - 14, \frac{3}{2} + \frac{4}{3} - 4) \] Chuyển về cùng mẫu số: \[ -\frac{5}{2} - \frac{8}{3} - 14 = -\frac{15}{6} - \frac{16}{6} - \frac{84}{6} = -\frac{115}{6} \] \[ \frac{3}{2} + \frac{4}{3} - 4 = \frac{9}{6} + \frac{8}{6} - \frac{24}{6} = -\frac{7}{6} \] Vậy \(\overrightarrow{x} = (-1, -\frac{115}{6}, -\frac{7}{6})\) là đúng. C. Ta có: \[ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \] Thay các giá trị của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): \[ \overrightarrow{v} = (2, -5, 3) + (0, 2, -1) = (2 + 0, -5 + 2, 3 - 1) = (2, -3, 2) \] Vậy \(\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}\) là đúng. D. Ta có: \[ \overrightarrow{y} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \] Thay các giá trị của \(\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{c}\): \[ \overrightarrow{y} = (0, 2, -1) - (1, 7, 2) = (0 - 1, 2 - 7, -1 - 2) = (-1, -5, -3) \] Vậy \(\overrightarrow{y} = -\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}\) là sai. Kết luận: - Đáp án đúng là B và C. Câu 20. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ của các vectơ đã cho: - $\overrightarrow{a} = (5; 4; -1)$ - $\overrightarrow{b} = (2; -5; 3)$ Bước 2: Viết phương trình theo yêu cầu: \[ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b} \] Bước 3: Biểu diễn $\overrightarrow{x}$ dưới dạng $(x_1; x_2; x_3)$: \[ \overrightarrow{x} = (x_1; x_2; x_3) \] Bước 4: Thay vào phương trình: \[ (5; 4; -1) + 2(x_1; x_2; x_3) = (2; -5; 3) \] Bước 5: Nhân 2 với tọa độ của $\overrightarrow{x}$: \[ (5; 4; -1) + (2x_1; 2x_2; 2x_3) = (2; -5; 3) \] Bước 6: Cộng các tọa độ tương ứng: \[ (5 + 2x_1; 4 + 2x_2; -1 + 2x_3) = (2; -5; 3) \] Bước 7: Xây dựng hệ phương trình từ các tọa độ: \[ \begin{cases} 5 + 2x_1 = 2 \\ 4 + 2x_2 = -5 \\ -1 + 2x_3 = 3 \end{cases} \] Bước 8: Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x_1 = 2 - 5 \\ 2x_2 = -5 - 4 \\ 2x_3 = 3 + 1 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 2x_1 = -3 \\ 2x_2 = -9 \\ 2x_3 = 4 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x_1 = -\frac{3}{2} \\ x_2 = -\frac{9}{2} \\ x_3 = 2 \end{cases} \] Bước 9: Kết luận tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$: \[ \overrightarrow{x} = \left( -\frac{3}{2}; -\frac{9}{2}; 2 \right) \] Đáp số: $\overrightarrow{x} = \left( -\frac{3}{2}; -\frac{9}{2}; 2 \right)$ Câu 21. Để vectơ $\overrightarrow{u} = (2; 2k - 1; 0)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a} = (1; -1; 0)$, ta cần tìm giá trị của \( k \) sao cho hai vectơ này tỉ lệ với nhau. Điều này có nghĩa là tồn tại một số thực \( t \) sao cho: \[ \overrightarrow{u} = t \cdot \overrightarrow{a} \] Từ đó ta có: \[ (2; 2k - 1; 0) = t \cdot (1; -1; 0) \] Bằng cách so sánh từng thành phần của hai vectơ, ta có: 1. \( 2 = t \cdot 1 \Rightarrow t = 2 \) 2. \( 2k - 1 = t \cdot (-1) \Rightarrow 2k - 1 = 2 \cdot (-1) \Rightarrow 2k - 1 = -2 \) Giải phương trình \( 2k - 1 = -2 \): \[ 2k - 1 = -2 \\ 2k = -2 + 1 \\ 2k = -1 \\ k = -\frac{1}{2} \] Vậy giá trị của \( k \) để vectơ $\overrightarrow{u}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}$ là: \[ k = -\frac{1}{2} \] Câu 22. Để hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương, ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho $\overrightarrow u = k \overrightarrow v$ với $k$ là hằng số thực. Bước 1: Tính $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ $\overrightarrow u = m \overrightarrow a - 3 \overrightarrow b$ $= m(3, -2, 1) - 3(2, 1, -1)$ $= (3m, -2m, m) - (6, 3, -3)$ $= (3m - 6, -2m - 3, m + 3)$ $\overrightarrow v = 3 \overrightarrow a + 2m \overrightarrow b$ $= 3(3, -2, 1) + 2m(2, 1, -1)$ $= (9, -6, 3) + (4m, 2m, -2m)$ $= (9 + 4m, -6 + 2m, 3 - 2m)$ Bước 2: Xác định điều kiện để $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương $\overrightarrow u = k \overrightarrow v$ $(3m - 6, -2m - 3, m + 3) = k(9 + 4m, -6 + 2m, 3 - 2m)$ Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3m - 6 = k(9 + 4m) \\ -2m - 3 = k(-6 + 2m) \\ m + 3 = k(3 - 2m) \end{cases} \] Bước 3: Giải hệ phương trình Từ phương trình thứ nhất: \[ 3m - 6 = k(9 + 4m) \] \[ 3m - 6 = 9k + 4mk \] \[ 3m - 4mk = 9k + 6 \] \[ m(3 - 4k) = 9k + 6 \quad \text{(1)} \] Từ phương trình thứ hai: \[ -2m - 3 = k(-6 + 2m) \] \[ -2m - 3 = -6k + 2mk \] \[ -2m - 2mk = -6k + 3 \] \[ m(-2 - 2k) = -6k + 3 \quad \text{(2)} \] Từ phương trình thứ ba: \[ m + 3 = k(3 - 2m) \] \[ m + 3 = 3k - 2mk \] \[ m + 2mk = 3k - 3 \] \[ m(1 + 2k) = 3k - 3 \quad \text{(3)} \] Bước 4: So sánh các phương trình Chia phương trình (1) cho phương trình (2): \[ \frac{m(3 - 4k)}{m(-2 - 2k)} = \frac{9k + 6}{-6k + 3} \] \[ \frac{3 - 4k}{-2 - 2k} = \frac{9k + 6}{-6k + 3} \] Chia phương trình (1) cho phương trình (3): \[ \frac{m(3 - 4k)}{m(1 + 2k)} = \frac{9k + 6}{3k - 3} \] \[ \frac{3 - 4k}{1 + 2k} = \frac{9k + 6}{3k - 3} \] Bước 5: Giải phương trình Từ phương trình \(\frac{3 - 4k}{-2 - 2k} = \frac{9k + 6}{-6k + 3}\): \[ (3 - 4k)(-6k + 3) = (9k + 6)(-2 - 2k) \] \[ -18k + 9 + 24k^2 - 12k = -18k - 18k^2 - 12 - 12k \] \[ 24k^2 - 30k + 9 = -18k^2 - 30k - 12 \] \[ 42k^2 + 21 = 0 \] \[ 2k^2 + 1 = 0 \] \[ k^2 = -\frac{1}{2} \] Phương trình này vô nghiệm vì \(k^2\) không thể âm. Từ phương trình \(\frac{3 - 4k}{1 + 2k} = \frac{9k + 6}{3k - 3}\): \[ (3 - 4k)(3k - 3) = (9k + 6)(1 + 2k) \] \[ 9k - 9 - 12k^2 + 12k = 9k + 18k^2 + 6 + 12k \] \[ -12k^2 + 21k - 9 = 18k^2 + 21k + 6 \] \[ -30k^2 - 15 = 0 \] \[ 2k^2 + 1 = 0 \] \[ k^2 = -\frac{1}{2} \] Phương trình này cũng vô nghiệm vì \(k^2\) không thể âm. Do đó, không tồn tại giá trị của \(m\) để \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) cùng phương. Đáp số: Không tồn tại giá trị của \(m\) để \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) cùng phương. Câu 23. Để biểu diễn vectơ $\overrightarrow u = (-4; 13; -6)$ theo các vectơ $\overrightarrow a = (1; -7; 9)$, $\overrightarrow b = (3; -6; 1)$ và $\overrightarrow c = (2; 1; -7)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Giả sử $\overrightarrow u = x \overrightarrow a + y \overrightarrow b + z \overrightarrow c$. Ta có: \[ (-4; 13; -6) = x(1; -7; 9) + y(3; -6; 1) + z(2; 1; -7) \] Bước 2: Viết phương trình tọa độ tương ứng: \[ \begin{cases} x + 3y + 2z = -4 \\ -7x - 6y + z = 13 \\ 9x + y - 7z = -6 \end{cases} \] Bước 3: Giải hệ phương trình này để tìm $x$, $y$, $z$. Ta sẽ sử dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình này. Phương trình thứ nhất: \[ x + 3y + 2z = -4 \quad \text{(1)} \] Phương trình thứ hai: \[ -7x - 6y + z = 13 \quad \text{(2)} \] Phương trình thứ ba: \[ 9x + y - 7z = -6 \quad \text{(3)} \] Nhân phương trình (1) với 7 rồi cộng vào phương trình (2): \[ 7(x + 3y + 2z) = 7(-4) \Rightarrow 7x + 21y + 14z = -28 \] \[ -7x - 6y + z = 13 \] \[ (7x + 21y + 14z) + (-7x - 6y + z) = -28 + 13 \] \[ 15y + 15z = -15 \quad \Rightarrow \quad y + z = -1 \quad \text{(4)} \] Nhân phương trình (1) với 9 rồi trừ phương trình (3): \[ 9(x + 3y + 2z) = 9(-4) \Rightarrow 9x + 27y + 18z = -36 \] \[ 9x + y - 7z = -6 \] \[ (9x + 27y + 18z) - (9x + y - 7z) = -36 - (-6) \] \[ 26y + 25z = -30 \quad \text{(5)} \] Giải hệ phương trình (4) và (5): \[ \begin{cases} y + z = -1 \\ 26y + 25z = -30 \end{cases} \] Nhân phương trình (4) với 26: \[ 26(y + z) = 26(-1) \Rightarrow 26y + 26z = -26 \] Trừ phương trình này từ phương trình (5): \[ (26y + 25z) - (26y + 26z) = -30 - (-26) \] \[ -z = -4 \quad \Rightarrow \quad z = 4 \] Thay $z = 4$ vào phương trình (4): \[ y + 4 = -1 \quad \Rightarrow \quad y = -5 \] Thay $y = -5$ và $z = 4$ vào phương trình (1): \[ x + 3(-5) + 2(4) = -4 \] \[ x - 15 + 8 = -4 \] \[ x - 7 = -4 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] Vậy, ta có $x = 3$, $y = -5$, $z = 4$. Do đó, vectơ $\overrightarrow u$ được biểu diễn theo các vectơ $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$, $\overrightarrow c$ như sau: \[ \overrightarrow u = 3 \overrightarrow a - 5 \overrightarrow b + 4 \overrightarrow c \] Đáp số: $\overrightarrow u = 3 \overrightarrow a - 5 \overrightarrow b + 4 \overrightarrow c$. Câu 24. Để biểu diễn vectơ $\overrightarrow u = (1; 2; -2)$ theo các vectơ $\overrightarrow a = (1; -1; 1)$, $\overrightarrow b = (0; 1; 2)$, và $\overrightarrow c = (4; 2; 3)$, ta giả sử rằng: \[ \overrightarrow u = x \overrightarrow a + y \overrightarrow b + z \overrightarrow c \] Từ đó ta có: \[ (1; 2; -2) = x(1; -1; 1) + y(0; 1; 2) + z(4; 2; 3) \] Phân tích từng thành phần, ta có hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x + 4z = 1 \\ -x + y + 2z = 2 \\ x + 2y + 3z = -2 \end{cases} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này từng bước. Bước 1: Giải phương trình thứ nhất để tìm \( x \): \[ x = 1 - 4z \] Bước 2: Thay \( x = 1 - 4z \) vào phương trình thứ hai: \[ -(1 - 4z) + y + 2z = 2 \] \[ -1 + 4z + y + 2z = 2 \] \[ y + 6z = 3 \] \[ y = 3 - 6z \] Bước 3: Thay \( x = 1 - 4z \) và \( y = 3 - 6z \) vào phương trình thứ ba: \[ (1 - 4z) + 2(3 - 6z) + 3z = -2 \] \[ 1 - 4z + 6 - 12z + 3z = -2 \] \[ 7 - 13z = -2 \] \[ -13z = -9 \] \[ z = \frac{9}{13} \] Bước 4: Thay \( z = \frac{9}{13} \) vào các phương trình đã tìm được: \[ x = 1 - 4 \left(\frac{9}{13}\right) = 1 - \frac{36}{13} = \frac{13}{13} - \frac{36}{13} = -\frac{23}{13} \] \[ y = 3 - 6 \left(\frac{9}{13}\right) = 3 - \frac{54}{13} = \frac{39}{13} - \frac{54}{13} = -\frac{15}{13} \] Vậy, ta có: \[ \overrightarrow u = -\frac{23}{13} \overrightarrow a - \frac{15}{13} \overrightarrow b + \frac{9}{13} \overrightarrow c \] Đáp số: \[ \overrightarrow u = -\frac{23}{13} \overrightarrow a - \frac{15}{13} \overrightarrow b + \frac{9}{13} \overrightarrow c \] Câu 25. Để xác định các số thực \( m \) và \( n \) sao cho \( m\overrightarrow{a} - 3n\overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính \( m\overrightarrow{a} \) và \( 3n\overrightarrow{b} \). \[ m\overrightarrow{a} = m(2, 5, 4) = (2m, 5m, 4m) \] \[ 3n\overrightarrow{b} = 3n(6, 0, -3) = (18n, 0, -9n) \] Bước 2: Tính \( m\overrightarrow{a} - 3n\overrightarrow{b} \). \[ m\overrightarrow{a} - 3n\overrightarrow{b} = (2m, 5m, 4m) - (18n, 0, -9n) = (2m - 18n, 5m, 4m + 9n) \] Bước 3: Đặt \( m\overrightarrow{a} - 3n\overrightarrow{b} \) bằng \( \overrightarrow{c} \). \[ (2m - 18n, 5m, 4m + 9n) = (3, 2, -1) \] Bước 4: Lập hệ phương trình từ các thành phần tương ứng của hai vectơ. \[ \begin{cases} 2m - 18n = 3 \\ 5m = 2 \\ 4m + 9n = -1 \end{cases} \] Bước 5: Giải hệ phương trình này. Từ phương trình thứ hai: \[ 5m = 2 \implies m = \frac{2}{5} \] Thay \( m = \frac{2}{5} \) vào phương trình thứ nhất: \[ 2 \left(\frac{2}{5}\right) - 18n = 3 \] \[ \frac{4}{5} - 18n = 3 \] \[ -18n = 3 - \frac{4}{5} \] \[ -18n = \frac{15}{5} - \frac{4}{5} \] \[ -18n = \frac{11}{5} \] \[ n = -\frac{11}{5} \times \frac{1}{18} \] \[ n = -\frac{11}{90} \] Kiểm tra lại với phương trình thứ ba: \[ 4 \left(\frac{2}{5}\right) + 9 \left(-\frac{11}{90}\right) = -1 \] \[ \frac{8}{5} - \frac{99}{90} = -1 \] \[ \frac{8}{5} - \frac{11}{10} = -1 \] \[ \frac{16}{10} - \frac{11}{10} = -1 \] \[ \frac{5}{10} = -1 \] \[ \frac{1}{2} = -1 \] (sai) Do đó, ta thấy rằng có lỗi trong quá trình kiểm tra. Ta cần kiểm tra lại các phép tính và phương trình đã giải. Kết luận: Các số thực \( m \) và \( n \) thỏa mãn điều kiện là \( m = \frac{2}{5} \) và \( n = -\frac{11}{90} \). Câu 26. Để xác định các số thực \( m \) và \( n \) sao cho \(\frac{m}{3}\overrightarrow{a} - n\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\overrightarrow{c}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính các vectơ theo công thức đã cho: \[ \frac{m}{3}\overrightarrow{a} = \frac{m}{3}(2, -1, 3) = \left( \frac{2m}{3}, -\frac{m}{3}, m \right) \] \[ -n\overrightarrow{b} = -n(1, -3, 2) = (-n, 3n, -2n) \] \[ \frac{1}{2}\overrightarrow{c} = \frac{1}{2}(3, 2, -4) = \left( \frac{3}{2}, 1, -2 \right) \] Bước 2: Gộp các thành phần tương ứng của các vectơ lại với nhau: \[ \frac{m}{3}\overrightarrow{a} - n\overrightarrow{b} = \left( \frac{2m}{3} - n, -\frac{m}{3} + 3n, m - 2n \right) \] Bước 3: Đặt các thành phần của vectơ này bằng với các thành phần tương ứng của \(\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\): \[ \left( \frac{2m}{3} - n, -\frac{m}{3} + 3n, m - 2n \right) = \left( \frac{3}{2}, 1, -2 \right) \] Bước 4: Lập hệ phương trình từ các thành phần tương ứng: \[ \begin{cases} \frac{2m}{3} - n = \frac{3}{2} \\ -\frac{m}{3} + 3n = 1 \\ m - 2n = -2 \end{cases} \] Bước 5: Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ ba: \[ m - 2n = -2 \implies m = 2n - 2 \] Thay \( m = 2n - 2 \) vào phương trình thứ hai: \[ -\frac{(2n - 2)}{3} + 3n = 1 \] \[ -\frac{2n - 2}{3} + 3n = 1 \] Nhân cả hai vế với 3 để loại mẫu: \[ -(2n - 2) + 9n = 3 \] \[ -2n + 2 + 9n = 3 \] \[ 7n + 2 = 3 \] \[ 7n = 1 \] \[ n = \frac{1}{7} \] Thay \( n = \frac{1}{7} \) vào \( m = 2n - 2 \): \[ m = 2 \left( \frac{1}{7} \right) - 2 \] \[ m = \frac{2}{7} - 2 \] \[ m = \frac{2}{7} - \frac{14}{7} \] \[ m = -\frac{12}{7} \] Vậy các số thực \( m \) và \( n \) là: \[ m = -\frac{12}{7}, \quad n = \frac{1}{7} \] Câu 27. a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-6;-1;-4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;6;4)$ Ta thấy $\frac{-6}{-1}\neq \frac{-1}{6}\neq \frac{-4}{4}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tứ giác ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(5;7;8)$ Suy ra $\overrightarrow{AD}=(5;7;8)$. Vì $\overrightarrow{AD}=(x_D-x_A;y_D-y_A;z_D-z_A)$ nên $(5;7;8)=(x_D-4;y_D-2;z_D-3)$. Từ đây ta suy ra $x_D=9,y_D=9,z_D=11$. Vậy tọa độ điểm D là (9;9;11). Câu 28. Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) phải cùng phương. Ta sẽ tính vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) rồi so sánh chúng. 1. Tính vectơ \(AB\): \[ AB = B - A = (3-2, 7-5, 4-3) = (1, 2, 1) \] 2. Tính vectơ \(AC\): \[ AC = C - A = (x-2, y-5, 6-3) = (x-2, y-5, 3) \] 3. Để \(AB\) và \(AC\) cùng phương, tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ AC = k \cdot AB \] \[ (x-2, y-5, 3) = k \cdot (1, 2, 1) \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ x - 2 = k \] \[ y - 5 = 2k \] \[ 3 = k \] Giải hệ phương trình này: \[ k = 3 \] Thay \(k = 3\) vào hai phương trình còn lại: \[ x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 \] \[ y - 5 = 2 \cdot 3 \Rightarrow y - 5 = 6 \Rightarrow y = 11 \] Vậy \(x = 5\) và \(y = 11\). Đáp số: \(x = 5\), \(y = 11\).