giai giup toi voi a

Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $M(-1;0)$ có phương trình là $\Delta:~y=-9x-9.$ - Tìm đạo hàm của hàm số: $y' = -3x^2 - 6x.$ - Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -1$: $y'(-1) = -3(-1)^2 - 6(-1) = -3 + 6 = 3.$ - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(-1;0)$ là: $y - 0 = 3(x + 1) \Rightarrow y = 3x + 3.$ Vậy mệnh đề a) là sai vì phương trình tiếp tuyến đúng là $y = 3x + 3$. Mệnh đề b) Đường thẳng $d:~y=(3m+8)x+2m+1$ song song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị (C) khi $m=-2.$ - Tìm điểm cực trị của hàm số: - Đạo hàm: $y' = -3x^2 - 6x.$ - Giải phương trình $y' = 0$: $-3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = -2.$ - Điểm cực đại: $x = -2$, $y = -(-2)^3 - 3(-2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.$ - Điểm cực tiểu: $x = 0$, $y = 0.$ - Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: $y = -2$ và $y = 0$. - Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: $y = -2x - 2.$ - Đường thẳng $d:~y=(3m+8)x+2m+1$ song song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị khi hệ số góc của chúng bằng nhau: - $(3m + 8) = -2 \Rightarrow 3m + 8 = -2 \Rightarrow 3m = -10 \Rightarrow m = -\frac{10}{3}.$ Vậy mệnh đề b) là sai vì $m = -\frac{10}{3}$, không phải $m = -2$. Mệnh đề c) Hàm số có giá trị lớn nhất. - Hàm số $y = -x^3 - 3x^2 + 2$ là hàm bậc ba với hệ số cao nhất âm (-1). - Hàm số bậc ba với hệ số cao nhất âm không có giá trị lớn nhất. Vậy mệnh đề c) là sai. Mệnh đề d) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2;+\infty).$ - Tìm đạo hàm của hàm số: $y' = -3x^2 - 6x.$ - Xét dấu đạo hàm: - $y' < 0$ khi $-3x^2 - 6x < 0 \Rightarrow x(x + 2) > 0 \Rightarrow x < -2$ hoặc $x > 0.$ - Trên khoảng $(2;+\infty)$, $y' < 0$, do đó hàm số nghịch biến. Vậy mệnh đề d) là đúng. Kết luận - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 3. a) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(-1;2)$ Đồ thị hàm số bậc ba có dạng uốn lượn, do đó có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Từ đồ thị, ta thấy điểm cực đại nằm ở phía trên và có tọa độ là (-1; 2). Do đó, phát biểu này đúng. b) Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Trên đồ thị, ta thấy hàm số cắt trục hoành tại ba điểm khác nhau. Do đó, phát biểu này sai. c) Phương trình $f(x) = 3$ có 2 nghiệm phân biệt. Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 3 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm khác nhau. Do đó, phương trình $f(x) = 3$ có ba nghiệm phân biệt. Phát biểu này sai. d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 5. Từ đồ thị, ta thấy khoảng cách giữa điểm cực đại (-1; 2) và điểm cực tiểu (3; -2) là: Khoảng cách = |3 - (-1)| = |3 + 1| = 4 Do đó, phát biểu này sai. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(-1;2)$. Câu 4. a) Ta có: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times (-1) + 1 \times 0 + 0 \times (-2) = -2 \] Tính độ dài các véc-tơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Do đó: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{-2}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{-2}{5} \] Vậy: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = -\frac{2}{5} \] b) Ta có: \[ -2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = -2(2, 1, 0) + (-1, 0, -2) \] \[ = (-4, -2, 0) + (-1, 0, -2) \] \[ = (-4 - 1, -2 + 0, 0 - 2) = (-5, -2, -2) \] c) Điều kiện để $\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$ là: \[ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0 \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = (-1) \times m + 0 \times (-2) + (-2) \times 4 = -m - 8 \] Đặt: \[ -m - 8 = 0 \Rightarrow m = -8 \] d) Ta có: \[ |\overrightarrow{c}| = 2|\overrightarrow{a}| \] Tính độ dài các véc-tơ: \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{m^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{m^2 + 4 + 16} = \sqrt{m^2 + 20} \] \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{5} \] Do đó: \[ \sqrt{m^2 + 20} = 2\sqrt{5} \] \[ m^2 + 20 = 20 \] \[ m^2 = 0 \Rightarrow m = 0 \] Đáp án đúng là: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị để tìm các thông tin về hàm số. 2. Sử dụng các điểm đặc biệt để lập phương trình và tìm giá trị của \(a\) và \(c\). 3. Tính giá trị của \(a - 2c\). Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị - Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0, 3)\). Điều này cho thấy khi \(x = 0\), \(y = 3\). Thay vào phương trình hàm số: \[ y = \frac{a \cdot 0 + 3}{0 + c} = \frac{3}{c} \] Do đó, \(\frac{3}{c} = 3 \Rightarrow c = 1\). - Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \((-3, 0)\). Điều này cho thấy khi \(y = 0\), \(x = -3\). Thay vào phương trình hàm số: \[ 0 = \frac{a \cdot (-3) + 3}{-3 + 1} = \frac{-3a + 3}{-2} \] Do đó, \(-3a + 3 = 0 \Rightarrow -3a = -3 \Rightarrow a = 1\). Bước 2: Tính giá trị của \(a - 2c\) - Ta đã tìm được \(a = 1\) và \(c = 1\). - Do đó, \(a - 2c = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1\). Vậy giá trị của \(a - 2c\) là \(-1\). Đáp số: \(-1\). Câu 2. Để tìm độ dài đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm \(M\): Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Ta có: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] Tọa độ của \(\overrightarrow{BC}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (3, -4, 6) - (1, -2, 2) = (2, -2, 4) \] Do đó: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} (2, -2, 4) = (1, -1, 2) \] 2. Tìm tọa độ của điểm \(M\): Giả sử tọa độ của điểm \(B\) là \((x_B, y_B, z_B)\). Tọa độ của điểm \(M\) sẽ là: \[ M = B + \overrightarrow{BM} = (x_B + 1, y_B - 1, z_B + 2) \] 3. Tìm tọa độ của điểm \(A\): Giả sử tọa độ của điểm \(A\) là \((x_A, y_A, z_A)\). Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (1, -2, 2) \] Do đó: \[ x_B = x_A + 1, \quad y_B = y_A - 2, \quad z_B = z_A + 2 \] 4. Tìm tọa độ của điểm \(C\): Ta có: \[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (3, -4, 6) \] Do đó: \[ x_C = x_A + 3, \quad y_C = y_A - 4, \quad z_C = z_A + 6 \] 5. Tìm tọa độ của điểm \(M\): Tọa độ của điểm \(M\) là: \[ M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) \] Thay vào các giá trị đã tìm được: \[ M = \left( \frac{(x_A + 1) + (x_A + 3)}{2}, \frac{(y_A - 2) + (y_A - 4)}{2}, \frac{(z_A + 2) + (z_A + 6)}{2} \right) \] \[ M = \left( \frac{2x_A + 4}{2}, \frac{2y_A - 6}{2}, \frac{2z_A + 8}{2} \right) \] \[ M = (x_A + 2, y_A - 3, z_A + 4) \] 6. Tìm độ dài đường trung tuyến \(AM\): Độ dài đoạn thẳng \(AM\) được tính bằng công thức: \[ |AM| = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 + (z_M - z_A)^2} \] Thay vào tọa độ của \(A\) và \(M\): \[ |AM| = \sqrt{(x_A + 2 - x_A)^2 + (y_A - 3 - y_A)^2 + (z_A + 4 - z_A)^2} \] \[ |AM| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} \] \[ |AM| = \sqrt{4 + 9 + 16} \] \[ |AM| = \sqrt{29} \] Vậy độ dài đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\) là \(\sqrt{29}\).