Bbdjdhdhdjjdjdjd

Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) \( y' > 0, \forall x \neq 1 \) Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{ax + b}{x + c} \): \[ y' = \left( \frac{ax + b}{x + c} \right)' = \frac{(ax + b)'(x + c) - (ax + b)(x + c)'}{(x + c)^2} = \frac{a(x + c) - (ax + b)}{(x + c)^2} = \frac{ac - b}{(x + c)^2} \] Để \( y' > 0 \), ta cần: \[ \frac{ac - b}{(x + c)^2} > 0 \] Vì \((x + c)^2\) luôn dương (trừ khi \( x = -c \)), nên ta cần: \[ ac - b > 0 \] b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ \((1; -1)\) Hàm số \( y = \frac{ax + b}{x + c} \) có tâm đối xứng tại giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Ta đã biết tiệm cận đứng là \( x = -c \). Tiệm cận ngang của hàm số là: \[ y = a \] Do đó, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \((-c; a)\). Theo đề bài, tâm đối xứng là \((1; -1)\), suy ra: \[ -c = 1 \Rightarrow c = -1 \] \[ a = -1 \] c) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \( x = -1 \) Tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{ax + b}{x + c} \) là \( x = -c \). Theo đề bài, tiệm cận đứng là \( x = -1 \), suy ra: \[ -c = -1 \Rightarrow c = 1 \] d) Trong các số \( a, b, c \) có đúng hai số dương Từ các thông tin trên, ta có: - \( c = -1 \) - \( a = -1 \) Vậy \( a \) và \( c \) đều âm, do đó \( b \) phải dương để thỏa mãn điều kiện \( ac - b > 0 \). Kết luận - \( y' > 0, \forall x \neq 1 \) là đúng vì \( ac - b > 0 \). - Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ \((1; -1)\) là đúng. - Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \( x = -1 \) là sai vì \( c = 1 \). - Trong các số \( a, b, c \) có đúng hai số dương là sai vì \( a \) và \( c \) đều âm. Vậy đáp án đúng là: a) \( y' > 0, \forall x \neq 1 \) b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ \((1; -1)\) Câu 3 Để giải quyết các phát biểu trong câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu dựa trên tính chất và hành vi của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \). a) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(1;+\infty)$ bằng -2. Đầu tiên, chúng ta tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 6x \] Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Trong khoảng $(1; +\infty)$, chỉ có điểm $x = 2$ nằm trong khoảng này. Ta kiểm tra giá trị của hàm số tại điểm này: \[ y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(1; +\infty)$ là -2. Phát biểu này đúng. b) Hàm số đạt cực đại tại $x=2.$ Ta đã tìm được các điểm cực trị là $x = 0$ và $x = 2$. Để xác định tính chất cực đại hoặc cực tiểu, ta kiểm tra dấu của đạo hàm ở hai bên mỗi điểm cực trị. - Tại $x = 0$: - Khi $x < 0$, $y' > 0$ (hàm số tăng) - Khi $0 < x < 2$, $y' < 0$ (hàm số giảm) Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$. - Tại $x = 2$: - Khi $0 < x < 2$, $y' < 0$ (hàm số giảm) - Khi $x > 2$, $y' > 0$ (hàm số tăng) Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$. Phát biểu này sai vì hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$, không phải cực đại. c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;2).$ Ta đã biết rằng đạo hàm của hàm số là: \[ y' = 3x^2 - 6x \] Để xác định khoảng nghịch biến, ta giải bất phương trình: \[ 3x^2 - 6x < 0 \] \[ 3x(x - 2) < 0 \] Giải bất phương trình này, ta có: \[ 0 < x < 2 \] Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$, không phải $(-2; 2)$. Phát biểu này sai. d) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng ba điểm. Để tìm các điểm cắt trục hoành, ta giải phương trình: \[ x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị đơn giản: - Khi $x = 1$: \[ 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Vậy $x = 1$ là một nghiệm. Sử dụng phép chia đa thức để tìm các nghiệm còn lại: \[ x^3 - 3x^2 + 2 = (x - 1)(x^2 - 2x - 2) \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 2x - 2 = 0 \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \] Vậy các nghiệm của phương trình là: \[ x = 1, \quad x = 1 + \sqrt{3}, \quad x = 1 - \sqrt{3} \] Do đó, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng ba điểm. Phát biểu này đúng. Kết luận: - a) Đúng - b) Sai - c) Sai - d) Đúng Câu4. a) Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ là: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{1 + 3 + 2}{3}, \frac{2 + 2 - 1}{3}, \frac{3 + 1 + 5}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{6}{3}, \frac{3}{3}, \frac{9}{3} \right) \] \[ G = (2, 1, 3) \] b) Độ dài đường cao AH (H thuộc BC): - Vector AB: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 2 - 2, 1 - 3) = (2, 0, -2) \] - Vector AC: \[ \overrightarrow{AC} = (2 - 1, -1 - 2, 5 - 3) = (1, -3, 2) \] - Vector BC: \[ \overrightarrow{BC} = (2 - 3, -1 - 2, 5 - 1) = (-1, -3, 4) \] Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| \] \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 2 - (-2) \cdot (-3)) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-3) - 0 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(0 - 6) - \mathbf{j}(4 + 2) + \mathbf{k}(-6 - 0) \] \[ = -6\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - 6\mathbf{k} \] \[ \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \] Độ dài cạnh BC: \[ \| \overrightarrow{BC} \| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \] Độ dài đường cao AH: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \] \[ 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{26} \cdot AH \] \[ AH = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{26}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}} = \frac{6\sqrt{78}}{26} = \frac{3\sqrt{78}}{13} \] c) Tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] \[ D = A + \overrightarrow{BC} = (1, 2, 3) + (-1, -3, 4) = (0, -1, 7) \] d) \(\cos BAC\): \[ \cos BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\| \overrightarrow{AB} \| \cdot \| \overrightarrow{AC} \|} \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-3) + (-2) \cdot 2 = 2 + 0 - 4 = -2 \] \[ \| \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ \| \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \] \[ \cos BAC = \frac{-2}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-2}{2\sqrt{28}} = \frac{-1}{\sqrt{28}} = -\frac{\sqrt{28}}{28} \] Đáp án đúng là: a) (2, 1, 3) b) \(\frac{3\sqrt{78}}{13}\) c) (0, -1, 7) d) \(-\frac{\sqrt{28}}{28}\) Đáp án: a, c Câu 1. Để xác định khoảng thời gian mà chất điểm chuyển động đi xuống, ta cần tìm khoảng thời gian mà vận tốc của chất điểm là âm. Vận tốc của chất điểm là đạo hàm của hàm số độ cao \( h(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( h(t) \): \[ h'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t + 1 \right) = t^2 - 8t + 12 \] Bước 2: Tìm các giá trị của \( t \) sao cho \( h'(t) < 0 \): \[ t^2 - 8t + 12 < 0 \] Bước 3: Giải bất phương trình \( t^2 - 8t + 12 < 0 \): Phương trình \( t^2 - 8t + 12 = 0 \) có hai nghiệm: \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \] \[ t = 6 \quad \text{hoặc} \quad t = 2 \] Do đó, \( t^2 - 8t + 12 < 0 \) khi \( 2 < t < 6 \). Bước 4: Kết luận khoảng thời gian mà chất điểm chuyển động đi xuống: Chất điểm chuyển động đi xuống khi \( t \) thuộc khoảng \( (2; 6) \). Bước 5: Tính \( a + b \): \[ a = 2 \quad \text{và} \quad b = 6 \] \[ a + b = 2 + 6 = 8 \] Đáp số: \( a + b = 8 \). Câu 2 Câu hỏi: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức $G(x) = 0,024x^2 - 0,00012x^3$, trong đó $x$ là liều lượng thuốc (mg). Tìm liều lượng thuốc để độ giảm huyết áp đạt giá trị lớn nhất. Câu trả lời: Để tìm liều lượng thuốc $x$ sao cho độ giảm huyết áp $G(x)$ đạt giá trị lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của $G(x)$: \[ G'(x) = \frac{d}{dx}(0,024x^2 - 0,00012x^3) \] \[ G'(x) = 0,048x - 0,00036x^2 \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $G'(x) = 0$: \[ 0,048x - 0,00036x^2 = 0 \] \[ x(0,048 - 0,00036x) = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 0,048 - 0,00036x = 0 \] \[ 0,048 = 0,00036x \] \[ x = \frac{0,048}{0,00036} \] \[ x = 133,33 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai $G''(x)$ để xác định tính chất của các điểm cực trị: \[ G''(x) = \frac{d}{dx}(0,048x - 0,00036x^2) \] \[ G''(x) = 0,048 - 0,00072x \] - Tại $x = 0$: \[ G''(0) = 0,048 > 0 \] Do đó, $x = 0$ là điểm cực tiểu. - Tại $x = 133,33$: \[ G''(133,33) = 0,048 - 0,00072 \times 133,33 \] \[ G''(133,33) = 0,048 - 0,096 \] \[ G''(133,33) = -0,048 < 0 \] Do đó, $x = 133,33$ là điểm cực đại. 4. Kết luận: Liều lượng thuốc để độ giảm huyết áp đạt giá trị lớn nhất là $x = 133,33$ mg. Đáp số: $x = 133,33$ mg.