988ujjhejeueebe

Câu 6: Để xác định hàm số của đường cong đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án một. A. \( y = \frac{2x + 1}{x - 1} \) - Tìm giao điểm với trục \( Oy \): Thay \( x = 0 \) vào phương trình: \[ y = \frac{2(0) + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \] Giao điểm là \( (0, -1) \). - Tìm giao điểm với trục \( Ox \): Thay \( y = 0 \) vào phương trình: \[ 0 = \frac{2x + 1}{x - 1} \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] Giao điểm là \( (-\frac{1}{2}, 0) \). B. \( y = \frac{2x + 3}{x + 1} \) - Tìm giao điểm với trục \( Oy \): Thay \( x = 0 \) vào phương trình: \[ y = \frac{2(0) + 3}{0 + 1} = \frac{3}{1} = 3 \] Giao điểm là \( (0, 3) \). - Tìm giao điểm với trục \( Ox \): Thay \( y = 0 \) vào phương trình: \[ 0 = \frac{2x + 3}{x + 1} \Rightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \] Giao điểm là \( (-\frac{3}{2}, 0) \). C. \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) - Tìm giao điểm với trục \( Oy \): Thay \( x = 0 \) vào phương trình: \[ y = \frac{2(0) - 1}{0 + 1} = \frac{-1}{1} = -1 \] Giao điểm là \( (0, -1) \). - Tìm giao điểm với trục \( Ox \): Thay \( y = 0 \) vào phương trình: \[ 0 = \frac{2x - 1}{x + 1} \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \] Giao điểm là \( (\frac{1}{2}, 0) \). D. \( y = \frac{2x - 2}{x - 1} \) - Tìm giao điểm với trục \( Oy \): Thay \( x = 0 \) vào phương trình: \[ y = \frac{2(0) - 2}{0 - 1} = \frac{-2}{-1} = 2 \] Giao điểm là \( (0, 2) \). - Tìm giao điểm với trục \( Ox \): Thay \( y = 0 \) vào phương trình: \[ 0 = \frac{2x - 2}{x - 1} \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \] Giao điểm là \( (1, 0) \). So sánh các giao điểm với trục \( Oy \) và trục \( Ox \) của các phương án với đồ thị đã cho, ta thấy rằng phương án C có giao điểm \( (0, -1) \) và \( (\frac{1}{2}, 0) \) phù hợp với đồ thị. Vậy đáp án đúng là: C. \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) Câu 7: Để đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, ta cần tìm các giá trị của $m$ sao cho phương trình $x^3 - 3x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Bước 1: Xét hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$. Ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm $f'(x)$ trên các khoảng $( -\infty, -1 )$, $(-1, 1)$ và $(1, +\infty)$: - Trên khoảng $(-\infty, -1)$, ta có $f'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(-1, 1)$, ta có $f'(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, ta có $f'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + m = -1 + 3 + m = 2 + m$ - Tại $x = 1$: $f(1) = (1)^3 - 3(1) + m = 1 - 3 + m = -2 + m$ Bước 5: Để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, hàm số phải có một cực đại và một cực tiểu, trong đó một trong hai giá trị cực trị phải bằng 0 hoặc nằm ở hai phía của trục hoành. Do đó, ta cần: \[ f(-1) = 0 \quad \text{hoặc} \quad f(1) = 0 \] Từ đây, ta có: \[ 2 + m = 0 \quad \Rightarrow \quad m = -2 \] \[ -2 + m = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 2 \] Vậy, các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt là $m = 2$ và $m = -2$. Đáp án đúng là: B. $m = \pm 2$. Câu 8: Để chứng minh rằng bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) tạo thành hình bình hành, ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Điều kiện cần và đủ: Bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) tạo thành hình bình hành nếu và chỉ nếu hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. 2. Kiểm tra trung điểm: Ta sẽ kiểm tra xem trung điểm của đoạn thẳng \(AC\) có trùng với trung điểm của đoạn thẳng \(BD\) hay không. - Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Khi đó: \[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) \] - Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD\). Khi đó: \[ N = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) \] 3. So sánh trung điểm: Để \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) tạo thành hình bình hành, ta cần có: \[ M = N \] \[ \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) \] 4. Tương đương: Điều này tương đương với: \[ x_A + x_C = x_B + x_D \] \[ y_A + y_C = y_B + y_D \] \[ z_A + z_C = z_B + z_D \] Như vậy, điều kiện cần và đủ để bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) tạo thành hình bình hành là: \[ x_A + x_C = x_B + x_D \] \[ y_A + y_C = y_B + y_D \] \[ z_A + z_C = z_B + z_D \] Đáp số: \(x_A + x_C = x_B + x_D\), \(y_A + y_C = y_B + y_D\), \(z_A + z_C = z_B + z_D\). Câu 9: Để tìm cosin của góc giữa hai vectơ $\overset ra$ và $\overset rb$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\overset ra \cdot \overset rb}{|\overset ra| |\overset rb|} \] Trước tiên, tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overset ra \cdot \overset rb = (-3) \times 5 + 4 \times 0 + 0 \times 12 = -15 + 0 + 0 = -15 \] Tiếp theo, tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overset ra| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\overset rb| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 0 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Bây giờ, thay vào công thức để tìm cosin của góc: \[ \cos(\theta) = \frac{-15}{5 \times 13} = \frac{-15}{65} = -\frac{3}{13} \] Vậy, cosin của góc giữa $\overset ra$ và $\overset rb$ là: \[ \boxed{-\frac{3}{13}} \] Do đó, đáp án đúng là: D. $-\frac{3}{13}$. Câu 10: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \) từ đồ thị, ta cần quan sát sự thay đổi của giá trị hàm số khi \( x \) tăng lên. - Trên đoạn \( (-\infty, -2) \), đồ thị hàm số đang giảm dần, tức là khi \( x \) tăng thì \( y \) giảm. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên đoạn \( (-2, 0) \), đồ thị hàm số đang tăng dần, tức là khi \( x \) tăng thì \( y \) cũng tăng. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - Trên đoạn \( (0, 2) \), đồ thị hàm số đang giảm dần, tức là khi \( x \) tăng thì \( y \) giảm. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên đoạn \( (2, +\infty) \), đồ thị hàm số đang tăng dần, tức là khi \( x \) tăng thì \( y \) cũng tăng. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. Từ những phân tích trên, ta thấy rằng hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (0, 2) \). Vậy, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng: \[ (-\infty, -2) \text{ và } (0, 2) \]