Câu 1.
Để tính , ta sử dụng tính chất của tích phân:
Biết rằng:
Thay vào công thức trên, ta có:
Giải phương trình này để tìm :
Vậy . Đáp án đúng là D. 5.
Câu 2.
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có dạng:
Trong đó là các thành phần của vectơ pháp tuyến và là tọa độ của điểm . Thay vào ta có:
Rút gọn phương trình này:
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 3.
Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng MN, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng này. Vectơ chỉ phương của đường thẳng MN là .
Tính :
Phương trình chính tắc của đường thẳng MN sẽ có dạng:
trong đó là tọa độ của một điểm trên đường thẳng (chọn điểm M hoặc N), và là các thành phần của vectơ chỉ phương .
Chọn điểm M(-1, -1, 2):
Do đó, phương trình chính tắc của đường thẳng MN là:
Đáp án đúng là:
Nhưng theo phương trình đã tính toán, đáp án đúng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 4.
Hình chiếu vuông góc của điểm lên trục Oy là điểm có tọa độ .
Đáp án đúng là: .
Câu 5
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Viết lại phương trình với cùng cơ số:
Ta nhận thấy rằng có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số 2:
Vậy phương trình trở thành:
2. So sánh các mũ số:
Vì hai vế đều có cùng cơ số 2, ta có thể so sánh các mũ số:
3. Giải phương trình bậc nhất:
Giải phương trình :
Vậy nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là: .
Câu 6.
Để tìm tọa độ của vectơ , ta thực hiện các phép tính sau:
1. Tính :
2. Tính :
3. Cộng các kết quả trên với :
Vậy tọa độ của vectơ là .
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 7.
Để tính phương sai của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu:
- Ta tính trung bình cộng của các khoảng quãng đường và số ngày tương ứng.
- Các khoảng trung tâm của các khoảng là: 2,85, 3,15, 3,45, 3,75, 4,05.
- Số ngày tương ứng là: 3, 6, 5, 4, 2.
Trung bình cộng được tính như sau:
2. Tính phương sai :
- Phương sai được tính theo công thức:
- Trong đó, là số lượng các giá trị trong mỗi khoảng, là giá trị trung tâm của mỗi khoảng, và là tổng số lượng giá trị.
Ta tính từng phần:
Bây giờ, nhân các giá trị này với số lượng tương ứng:
Cộng tất cả các giá trị này lại:
Cuối cùng, chia tổng này cho số lượng giá trị:
Làm tròn đến hàng phần trăm:
Do đó, phương sai của mẫu số liệu trên là .
Đáp án đúng là: .
Câu 8.
Để xác định số lượng đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số , chúng ta cần xem xét giới hạn của hàm số khi tiến đến vô cùng () và âm vô cùng ().
Bảng biến thiên cho thấy:
- Khi , giá trị của tiến đến 2.
- Khi , giá trị của tiến đến -2.
Từ đó, ta có:
- Giới hạn
- Giới hạn
Như vậy, đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là và .
Do đó, đáp án đúng là:
B. 2.
Câu 9
Để tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu , ta thực hiện các bước sau:
1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương:
Ta nhóm các hạng tử liên quan đến , , và lại và hoàn thành bình phương:
2. Hoàn thành bình phương:
- Với :
- Với :
- Với :
3. Thay vào phương trình ban đầu:
4. Rút gọn phương trình:
5. So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu:
Phương trình chuẩn của mặt cầu là , trong đó tâm và bán kính .
Từ phương trình , ta nhận thấy:
- Tâm là
- Bán kính là
Vậy tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu là:
Câu 10.
Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào sai.
A.
- Ta biết rằng .
- Nguyên hàm của là . Do đó, mệnh đề này đúng.
B.
- Nguyên hàm của là . Do đó, mệnh đề này đúng.
C.
- Ta biết rằng .
- Nguyên hàm của là . Do đó, mệnh đề này đúng.
D.
- Nguyên hàm của là , không phải . Do đó, mệnh đề này sai.
Vậy, mệnh đề sai là:
Đáp án: D.
Câu 11.
Để tính số hạng thứ 5 () của cấp số nhân với số hạng đầu và công bội , ta sử dụng công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số nhân:
Áp dụng vào bài toán:
Tính :
Do đó:
Vậy đáp án đúng là: