giai giup em voi a

Câu 3. Để tính \( S_1 - S_2 \), ta cần tính độ lệch chuẩn \( S_1 \) và \( S_2 \) của thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh lớp 4 ở trường X và Y lần lượt. Bước 1: Tính trung bình cộng của thời gian hoàn thành bài viết chính tả ở cả hai trường. Trường X: - Thời gian trung bình của mỗi nhóm: 6.5, 7.5, 8.5, 9.5, 10.5 phút. - Số lượng học sinh: 8, 10, 13, 10, 9. Trung bình cộng \( \bar{x}_X \): \[ \bar{x}_X = \frac{(6.5 \times 8) + (7.5 \times 10) + (8.5 \times 13) + (9.5 \times 10) + (10.5 \times 9)}{8 + 10 + 13 + 10 + 9} \] \[ = \frac{52 + 75 + 110.5 + 95 + 94.5}{50} = \frac{427}{50} = 8.54 \text{ phút} \] Trường Y: - Thời gian trung bình của mỗi nhóm: 6.5, 7.5, 8.5, 9.5, 10.5 phút. - Số lượng học sinh: 4, 12, 17, 14, 3. Trung bình cộng \( \bar{x}_Y \): \[ \bar{x}_Y = \frac{(6.5 \times 4) + (7.5 \times 12) + (8.5 \times 17) + (9.5 \times 14) + (10.5 \times 3)}{4 + 12 + 17 + 14 + 3} \] \[ = \frac{26 + 90 + 144.5 + 133 + 31.5}{40} = \frac{425}{40} = 10.625 \text{ phút} \] Bước 2: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của thời gian hoàn thành bài viết chính tả ở cả hai trường. Trường X: Phương sai \( s_X^2 \): \[ s_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x}_X)^2}{n} \] \[ = \frac{(8 \times (6.5 - 8.54)^2) + (10 \times (7.5 - 8.54)^2) + (13 \times (8.5 - 8.54)^2) + (10 \times (9.5 - 8.54)^2) + (9 \times (10.5 - 8.54)^2)}{50} \] \[ = \frac{(8 \times (-2.04)^2) + (10 \times (-1.04)^2) + (13 \times (-0.04)^2) + (10 \times 0.96^2) + (9 \times 1.96^2)}{50} \] \[ = \frac{(8 \times 4.1616) + (10 \times 1.0816) + (13 \times 0.0016) + (10 \times 0.9216) + (9 \times 3.8416)}{50} \] \[ = \frac{33.2928 + 10.816 + 0.0208 + 9.216 + 34.5744}{50} = \frac{87.91}{50} = 1.7582 \] Độ lệch chuẩn \( s_X \): \[ s_X = \sqrt{1.7582} \approx 1.326 \] Trường Y: Phương sai \( s_Y^2 \): \[ s_Y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x}_Y)^2}{n} \] \[ = \frac{(4 \times (6.5 - 10.625)^2) + (12 \times (7.5 - 10.625)^2) + (17 \times (8.5 - 10.625)^2) + (14 \times (9.5 - 10.625)^2) + (3 \times (10.5 - 10.625)^2)}{40} \] \[ = \frac{(4 \times (-4.125)^2) + (12 \times (-3.125)^2) + (17 \times (-2.125)^2) + (14 \times (-1.125)^2) + (3 \times (-0.125)^2)}{40} \] \[ = \frac{(4 \times 17.015625) + (12 \times 9.765625) + (17 \times 4.515625) + (14 \times 1.265625) + (3 \times 0.015625)}{40} \] \[ = \frac{68.0625 + 117.1875 + 76.765625 + 17.71875 + 0.046875}{40} = \frac{280.78125}{40} = 7.01953125 \] Độ lệch chuẩn \( s_Y \): \[ s_Y = \sqrt{7.01953125} \approx 2.649 \] Bước 3: Tính \( S_1 - S_2 \). \[ S_1 - S_2 = s_X - s_Y = 1.326 - 2.649 = -1.323 \] Đáp số: \( S_1 - S_2 = -1.323 \). Câu 4. Để xác định vị trí của tháp viễn thông sao cho tổng khoảng cách từ tháp đến ba tòa nhà là nhỏ nhất, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tối ưu hóa trong đại lượng. Giả sử tháp viễn thông đặt tại điểm \( P(x, y, z) \). Tổng khoảng cách từ tháp đến ba tòa nhà là: \[ d = PA + PB + PC \] Trong đó: - \( PA = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \) - \( PB = \sqrt{(x - 6)^2 + y^2 + z^2} \) - \( PC = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2 + (z - 2\sqrt{6})^2} \) Ta cần tìm giá trị của \( x, y, z \) sao cho tổng khoảng cách \( d \) là nhỏ nhất. Để đơn giản hóa bài toán, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trung bình (điểm trọng tâm) của ba điểm \( A, B, C \). Tọa độ trung tâm \( G \) của ba điểm \( A, B, C \) là: \[ G = \left( \frac{0 + 6 + 3}{3}, \frac{0 + 0 + \sqrt{3}}{3}, \frac{0 + 0 + 2\sqrt{6}}{3} \right) = \left( 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3} \right) \] Vậy, tháp viễn thông nên đặt tại điểm \( G \left( 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3} \right) \). Bây giờ, ta tính tổng khoảng cách từ điểm \( G \) đến ba tòa nhà \( A, B, C \): 1. \( GA = \sqrt{(3 - 0)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{6}}{3} - 0\right)^2} \) \[ = \sqrt{9 + \frac{3}{9} + \frac{24}{9}} = \sqrt{9 + \frac{27}{9}} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] 2. \( GB = \sqrt{(3 - 6)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{6}}{3} - 0\right)^2} \) \[ = \sqrt{(-3)^2 + \frac{3}{9} + \frac{24}{9}} = \sqrt{9 + \frac{27}{9}} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] 3. \( GC = \sqrt{(3 - 3)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{6}}{3} - 2\sqrt{6}\right)^2} \) \[ = \sqrt{0 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{6}}{3} - 2\sqrt{6}\right)^2} \] \[ = \sqrt{0 + \left(\frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{6} - 6\sqrt{6}}{3}\right)^2} \] \[ = \sqrt{0 + \left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{-4\sqrt{6}}{3}\right)^2} \] \[ = \sqrt{0 + \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{16 \cdot 6}{9}} \] \[ = \sqrt{0 + \frac{12}{9} + \frac{96}{9}} \] \[ = \sqrt{0 + \frac{108}{9}} \] \[ = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] Tổng khoảng cách từ tháp đến ba tòa nhà là: \[ d = GA + GB + GC = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \] Vậy, tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba tòa nhà là \( 6\sqrt{3} \). Câu 5. Để tìm thời điểm mà vật đạt độ cao lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm của \( h(t) \) bằng 0. Bước 1: Tính đạo hàm của \( h(t) \). \[ h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2 \] Đạo hàm của \( h(t) \): \[ h'(t) = 24,5 - 9,8t \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của \( t \). \[ 24,5 - 9,8t = 0 \] Giải phương trình này: \[ 9,8t = 24,5 \] \[ t = \frac{24,5}{9,8} \] \[ t = 2,5 \text{ giây} \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm để đảm bảo rằng đây là điểm cực đại. Đạo hàm thứ hai của \( h(t) \): \[ h''(t) = -9,8 \] Vì \( h''(t) < 0 \), nên \( t = 2,5 \) là điểm cực đại của \( h(t) \). Vậy sau 2,5 giây, vật đạt độ cao lớn nhất. Đáp số: 2,5 giây. Câu 6. Để tìm số nghiệm dương của phương trình \( f(f(x)) = 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị \( x \) sao cho \( f(x) = 1 \): - Từ đồ thị, ta thấy rằng \( f(x) = 1 \) tại các điểm \( x = -1 \), \( x = 1 \), và \( x = 3 \). 2. Tìm các giá trị \( x \) sao cho \( f(x) = -1 \), \( f(x) = 1 \), và \( f(x) = 3 \): - \( f(x) = -1 \): Từ đồ thị, ta thấy rằng \( f(x) = -1 \) tại các điểm \( x = -2 \) và \( x = 2 \). - \( f(x) = 1 \): Ta đã biết từ bước 1 rằng \( f(x) = 1 \) tại các điểm \( x = -1 \), \( x = 1 \), và \( x = 3 \). - \( f(x) = 3 \): Từ đồ thị, ta thấy rằng \( f(x) = 3 \) tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = 4 \). 3. Kiểm tra các giá trị \( x \) dương: - \( f(x) = -1 \): Các giá trị dương là \( x = 2 \). - \( f(x) = 1 \): Các giá trị dương là \( x = 1 \) và \( x = 3 \). - \( f(x) = 3 \): Các giá trị dương là \( x = 4 \). Do đó, các nghiệm dương của phương trình \( f(f(x)) = 1 \) là \( x = 1 \), \( x = 2 \), \( x = 3 \), và \( x = 4 \). Vậy số nghiệm dương của phương trình \( f(f(x)) = 1 \) là 4 nghiệm. Đáp số: 4 nghiệm dương.