Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, xét các đường thẳng đi qua hai nút lưới (mỗi nút lưới là đỉnh của hình lập phương), người ta đưa ra một cách kiểm tra độ lệch về phương của hai dường thẳng bằng cách gắn hệ tọa độ Oxyz vào khung lưới ô vuông và tìm vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Giả sử, đường thẳng a đi qua hai nút lưới M(1;1;2) và N(0;3;0), đường thẳng b đi qua hai nút lưới P(1;0;3) và Q(3;3;9). Sau khi làm tròn đến hàng đơn vị của độ thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng n° (n là số tự nhiên). Giá trị của n bằng bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Để tìm góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$, ta cần tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng và sau đó sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ.

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $a$.

Đường thẳng $a$ đi qua hai điểm $M(1;1;2)$ và $N(0;3;0)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $a$ là:
$$
\overrightarrow{MN} = (0 - 1, 3 - 1, 0 - 2) = (-1, 2, -2)
$$

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $b$.

Đường thẳng $b$ đi qua hai điểm $P(1;0;3)$ và $Q(3;3;9)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $b$ là:
$$
\overrightarrow{PQ} = (3 - 1, 3 - 0, 9 - 3) = (2, 3, 6)
$$

Bước 3: Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$.

Góc $\theta$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ được tính bằng công thức:
$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{PQ}}{\|\overrightarrow{MN}\| \cdot \|\overrightarrow{PQ}\|}
$$

Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{PQ}$:
$$
\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{PQ} = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 6 = -2 + 6 - 12 = -8
$$

Tính độ dài của $\overrightarrow{MN}$:
$$
\|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
$$

Tính độ dài của $\overrightarrow{PQ}$:
$$
\|\overrightarrow{PQ}\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7
$$

Thay vào công thức $\cos \theta$:
$$
\cos \theta = \frac{-8}{3 \cdot 7} = \frac{-8}{21}
$$

Bước 4: Tính góc $\theta$ và làm tròn đến hàng đơn vị.

Sử dụng máy tính để tìm $\theta$:
$$
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-8}{21}\right)
$$

Sau khi tính toán, ta có:
$$
\theta \approx 112^\circ
$$

Vậy, góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ sau khi làm tròn đến hàng đơn vị là $112^\circ$. Giá trị của $n$ là $112$.

Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, xét các đường thẳng đi qua hai nút lưới (mỗi nút lưới là đỉnh của hình lập phương), người ta đưa ra một cách kiểm tra độ lệch về phương của hai dườ...