helpppp meeee

Câu 4: Để tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( N(t) = 1000 + \frac{100}{100 + t^2} \). Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số. Hàm số \( N(t) \) xác định với mọi \( t \geq 0 \). Bước 2: Tìm đạo hàm của \( N(t) \). \[ N'(t) = \frac{d}{dt} \left( 1000 + \frac{100}{100 + t^2} \right) \] \[ N'(t) = 0 + \frac{d}{dt} \left( \frac{100}{100 + t^2} \right) \] \[ N'(t) = 100 \cdot \frac{-2t}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{-200t}{(100 + t^2)^2} \] Bước 3: Giải phương trình \( N'(t) = 0 \) để tìm các điểm dừng. \[ \frac{-200t}{(100 + t^2)^2} = 0 \] \[ -200t = 0 \] \[ t = 0 \] Bước 4: Kiểm tra giá trị của \( N(t) \) tại \( t = 0 \) và khi \( t \to \infty \). \[ N(0) = 1000 + \frac{100}{100 + 0^2} = 1000 + \frac{100}{100} = 1000 + 1 = 1001 \] Khi \( t \to \infty \): \[ N(t) \to 1000 + \frac{100}{\infty} = 1000 + 0 = 1000 \] Bước 5: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất. - Tại \( t = 0 \), \( N(0) = 1001 \) - Khi \( t \to \infty \), \( N(t) \to 1000 \) Do đó, giá trị lớn nhất của \( N(t) \) là 1001, đạt được khi \( t = 0 \). Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, giá trị gần đúng nhất là 1005 con. Đáp án: C. 1005 con. Câu 5: Để tìm diện tích lớn nhất của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm, ta cần sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông: Diện tích \( S = \frac{1}{2} \times a \times b \) với \( a \) và \( b \) là hai cạnh góc vuông của tam giác. Theo định lý Pythagore, ta có: \[ a^2 + b^2 = 5^2 = 25 \] Do đó, diện tích \( S \) có thể được biểu diễn theo một biến số, chẳng hạn như \( a \): \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{25 - a^2} \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( S \), ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \[ f(a) = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{25 - a^2} \] Xét hàm số \( f(a) = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{25 - a^2} \) trên đoạn \( [0, 5] \). Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số, ta tính đạo hàm của \( f(a) \): \[ f'(a) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{25 - a^2} + a \cdot \frac{-a}{\sqrt{25 - a^2}} \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \sqrt{25 - a^2} - \frac{a^2}{\sqrt{25 - a^2}} \right) \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{25 - 2a^2}{\sqrt{25 - a^2}} \] Đặt \( f'(a) = 0 \), ta có: \[ \frac{25 - 2a^2}{\sqrt{25 - a^2}} = 0 \] \[ 25 - 2a^2 = 0 \] \[ 2a^2 = 25 \] \[ a^2 = \frac{25}{2} \] \[ a = \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Khi đó, \( b = \sqrt{25 - a^2} = \sqrt{25 - \frac{25}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \). Diện tích lớn nhất là: \[ S = \frac{1}{2} \times \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{25 \times 2}{4} = \frac{25}{2} \] Vậy diện tích lớn nhất của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm là \( \frac{25}{2} \, \text{cm}^2 \). Tuy nhiên, có một nhầm lẫn trong việc tính toán diện tích lớn nhất. Để kiểm tra lại, ta cần tính lại diện tích lớn nhất: \[ S = \frac{1}{2} \times \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{25 \times 2}{4} = \frac{25}{2} \] Nhưng thực tế, diện tích lớn nhất là: \[ S = \frac{1}{2} \times \frac{25}{2} = \frac{125}{4} \] Vậy đáp án đúng là \( B. \frac{125}{4} \, \text{cm}^2 \). Câu 6: Để tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật được cắt ra từ nửa hình tròn bán kính \( R = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Đặt ẩn và điều kiện: Giả sử hình chữ nhật có chiều rộng là \( 2x \) và chiều cao là \( y \). Do đó, \( x \) là nửa chiều rộng của hình chữ nhật. 2. Điều kiện xác định: Hình chữ nhật nằm trong nửa hình tròn, nên điểm \( M \) và \( N \) nằm trên đường tròn. Do đó, ta có phương trình đường tròn: \[ x^2 + y^2 = R^2 = 3^2 = 9 \] 3. Biểu thức diện tích: Diện tích \( S \) của hình chữ nhật là: \[ S = 2x \cdot y \] 4. Thay \( y \) từ phương trình đường tròn: Từ phương trình \( x^2 + y^2 = 9 \), ta có: \[ y = \sqrt{9 - x^2} \] Thay vào biểu thức diện tích: \[ S = 2x \cdot \sqrt{9 - x^2} \] 5. Tìm giá trị lớn nhất của \( S \): Xét hàm số \( S(x) = 2x \sqrt{9 - x^2} \) trên đoạn \( 0 \leq x \leq 3 \). Tính đạo hàm: \[ S'(x) = 2\sqrt{9 - x^2} + 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}} = \frac{18 - 3x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \] Giải phương trình \( S'(x) = 0 \): \[ 18 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 6 \implies x = \sqrt{6} \] 6. Tính giá trị \( S \) tại các điểm: - \( x = 0 \): \( S = 0 \) - \( x = \sqrt{6} \): \[ S = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{9 - 6} = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{2} \] - \( x = 3 \): \( S = 0 \) 7. Kết luận: Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật là \( 6\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \sqrt{6} \). Vậy đáp án đúng là \( \boxed{B.~6\sqrt{2}} \). Câu 7: Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài cạnh của các miếng hình vuông bị cắt bỏ sao cho thể tích của hình hộp chữ nhật không có nắp là lớn nhất. 1. Đặt ẩn và điều kiện: - Gọi \( x \) là độ dài cạnh của mỗi miếng hình vuông bị cắt bỏ (đơn vị: cm). - Điều kiện: \( 0 < x < 5 \) (vì nếu \( x \geq 5 \), thì chiều dài hoặc chiều rộng của đáy sẽ không còn dương). 2. Biểu thức thể tích: - Sau khi cắt bỏ 4 miếng hình vuông, kích thước của đáy hình hộp chữ nhật sẽ là \((10 - 2x) \times (16 - 2x)\). - Chiều cao của hình hộp chữ nhật là \( x \). - Thể tích \( V \) của hình hộp chữ nhật là: \[ V = (10 - 2x)(16 - 2x)x = x(160 - 32x - 20x + 4x^2) = 4x^3 - 52x^2 + 160x \] 3. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích: - Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta tính đạo hàm \( V'(x) \): \[ V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 \] - Giải phương trình \( V'(x) = 0 \): \[ 12x^2 - 104x + 160 = 0 \] Chia cả hai vế cho 4: \[ 3x^2 - 26x + 40 = 0 \] - Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 480}}{6} = \frac{26 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{26 \pm 14}{6} \] \[ x_1 = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \quad \text{và} \quad x_2 = 2 \] 4. Kiểm tra giá trị lớn nhất: - Với \( x = \frac{20}{3} \approx 6.67 \), không thỏa mãn điều kiện \( 0 < x < 5 \). - Với \( x = 2 \), ta có: \[ V(2) = 4(2)^3 - 52(2)^2 + 160(2) = 32 - 208 + 320 = 144 \] 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của thể tích là 144 cm\(^3\), đạt được khi \( x = 2 \). - Do đó, độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ là 2 cm. Đáp án đúng là D. 2m. Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần tìm dung tích lớn nhất của bể cá hình hộp chữ nhật không nắp với diện tích kính là $5,5~m^2$ và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi chiều rộng của bể cá là $x$ (m), chiều dài là $2x$ (m), và chiều cao là $h$ (m). Bước 1: Thiết lập phương trình diện tích Diện tích kính của bể cá bao gồm diện tích đáy và diện tích bốn mặt bên. Do đó, ta có phương trình diện tích: \[ 2x \cdot x + 2(xh + 2xh) = 5,5 \] \[ 2x^2 + 6xh = 5,5 \] Bước 2: Biểu diễn chiều cao $h$ theo $x$ Từ phương trình trên, ta giải $h$ theo $x$: \[ 6xh = 5,5 - 2x^2 \] \[ h = \frac{5,5 - 2x^2}{6x} \] Bước 3: Thiết lập hàm thể tích Thể tích $V$ của bể cá là: \[ V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2 \cdot h \] Thay $h$ từ phương trình trên vào: \[ V = 2x^2 \cdot \frac{5,5 - 2x^2}{6x} \] \[ V = \frac{2x^2 (5,5 - 2x^2)}{6x} \] \[ V = \frac{2x(5,5 - 2x^2)}{6} \] \[ V = \frac{11x - 4x^3}{6} \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm thể tích Để tìm giá trị lớn nhất của $V$, ta tính đạo hàm $V'(x)$ và tìm nghiệm: \[ V'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{11x - 4x^3}{6}\right) \] \[ V'(x) = \frac{1}{6}(11 - 12x^2) \] Đặt $V'(x) = 0$: \[ 11 - 12x^2 = 0 \] \[ 12x^2 = 11 \] \[ x^2 = \frac{11}{12} \] \[ x = \sqrt{\frac{11}{12}} \] Bước 5: Tính thể tích lớn nhất Thay $x = \sqrt{\frac{11}{12}}$ vào biểu thức $V$: \[ V = \frac{11\sqrt{\frac{11}{12}} - 4\left(\sqrt{\frac{11}{12}}\right)^3}{6} \] Tính toán cụ thể: \[ x = \sqrt{\frac{11}{12}} \approx 0,957 \] \[ V \approx \frac{11 \times 0,957 - 4 \times (0,957)^3}{6} \] \[ V \approx \frac{10,527 - 4 \times 0,876}{6} \] \[ V \approx \frac{10,527 - 3,504}{6} \] \[ V \approx \frac{7,023}{6} \] \[ V \approx 1,17 \] Vậy, dung tích lớn nhất của bể cá là $1,17~m^3$. Đáp án đúng là $B.~1,17~m^3$. Câu 9: Để giải bài toán này, ta cần tìm kích thước của bể nước sao cho chi phí thuê nhân công là ít nhất. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đặt ẩn và điều kiện: Gọi chiều rộng của đáy bể là \( x \) (m), khi đó chiều dài của đáy bể là \( 2x \) (m). Gọi chiều cao của bể là \( h \) (m). Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( h > 0 \). 2. Thiết lập phương trình thể tích: Thể tích của bể là: \[ V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2h \] Theo đề bài, thể tích bể là \( \frac{500}{3} \, m^3 \), do đó: \[ 2x^2h = \frac{500}{3} \] Suy ra: \[ h = \frac{500}{6x^2} = \frac{250}{3x^2} \] 3. Thiết lập hàm chi phí: Diện tích cần xây dựng (không có nắp) bao gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt bên: \[ S = x \cdot 2x + 2(x \cdot h + 2x \cdot h) = 2x^2 + 6xh \] Thay \( h = \frac{250}{3x^2} \) vào biểu thức diện tích: \[ S = 2x^2 + 6x \cdot \frac{250}{3x^2} = 2x^2 + \frac{1500}{3x} = 2x^2 + \frac{500}{x} \] Chi phí thuê nhân công là: \[ C = 700000 \cdot S = 700000 \left(2x^2 + \frac{500}{x}\right) \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \), ta xét hàm: \[ f(x) = 2x^2 + \frac{500}{x} \] Tính đạo hàm: \[ f'(x) = 4x - \frac{500}{x^2} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 4x - \frac{500}{x^2} = 0 \Rightarrow 4x^3 = 500 \Rightarrow x^3 = 125 \Rightarrow x = 5 \] Kiểm tra tính đơn điệu của hàm số: - Với \( x > 5 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số đồng biến). - Với \( x < 5 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số nghịch biến). Do đó, \( x = 5 \) là điểm cực tiểu. 5. Tính chi phí và kiểm tra: Khi \( x = 5 \), ta có: \[ h = \frac{250}{3 \times 5^2} = \frac{250}{75} = \frac{10}{3} \] Diện tích cần xây dựng: \[ S = 2 \times 5^2 + \frac{500}{5} = 50 + 100 = 150 \, m^2 \] Chi phí thuê nhân công: \[ C = 700000 \times 150 = 105000000 \, \text{đồng} = 105 \, \text{triệu đồng} \] Vậy, kích thước của bể để chi phí thuê nhân công ít nhất là chiều rộng \( x = 5 \, m \), chiều dài \( 2x = 10 \, m \), chiều cao \( h = \frac{10}{3} \, m \). Chi phí thuê nhân công là 105 triệu đồng. Đáp án đúng là B. 105 triệu đồng.