cần giải đáp

Câu 1. Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 + 3x + 3)'(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(2x + 3)(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 3x + 6 - x^2 - 3x - 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} = 0 \] \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \] \[ x = -1 \text{ hoặc } x = -3 \] 3. Xác định tính chất cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y'' = \left( \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y'' = \frac{((x + 1)(x + 3))'(x + 2)^2 - ((x + 1)(x + 3))((x + 2)^2)'}{(x + 2)^4} \] \[ y'' = \frac{(2x + 4)(x + 2)^2 - 2(x + 1)(x + 3)(x + 2)}{(x + 2)^4} \] \[ y'' = \frac{2(x + 2)((x + 2) - (x + 1)(x + 3))}{(x + 2)^4} \] \[ y'' = \frac{2((x + 2) - (x^2 + 4x + 3))}{(x + 2)^3} \] \[ y'' = \frac{2(-x^2 - 2x - 1)}{(x + 2)^3} \] \[ y'' = \frac{-2(x + 1)^2}{(x + 2)^3} \] Tại \( x = -1 \): \[ y'' = \frac{-2(0)^2}{(1)^3} = 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = -3 \): \[ y'' = \frac{-2(-2)^2}{(-1)^3} = \frac{-8}{-1} = 8 > 0 \] Do đó, \( x = -3 \) là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị cực đại và cực tiểu: - Tại \( x = -1 \): \[ y = \frac{(-1)^2 + 3(-1) + 3}{-1 + 2} = \frac{1 - 3 + 3}{1} = 1 \] - Tại \( x = -3 \): \[ y = \frac{(-3)^2 + 3(-3) + 3}{-3 + 2} = \frac{9 - 9 + 3}{-1} = -3 \] 5. Tính giá trị của biểu thức \( M^2 - 2m \): \[ M = 1, \quad m = -3 \] \[ M^2 - 2m = 1^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M^2 - 2m \) là \( 7 \). Câu 2. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$ trên đoạn $[0;4]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tập xác định Hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$ là một đa thức, do đó nó xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Trên đoạn $[0;4]$, hàm số cũng xác định. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^2 + 3) = 4x^3 - 8x \] Bước 3: Tìm các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 4x^3 - 8x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{2} \] Trong đoạn $[0;4]$, các giá trị $x = 0$ và $x = \sqrt{2}$ nằm trong khoảng này. Bước 4: Đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm $x = 0$, $x = \sqrt{2}$ và tại các biên của đoạn $[0;4]$: \[ y(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^2 + 3 = 3 \] \[ y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4 \cdot (\sqrt{2})^2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] \[ y(4) = 4^4 - 4 \cdot 4^2 + 3 = 256 - 64 + 3 = 195 \] Bước 5: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất So sánh các giá trị đã tính: \[ y(0) = 3 \] \[ y(\sqrt{2}) = -1 \] \[ y(4) = 195 \] Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;4]$ là 195, đạt được khi $x = 4$. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$ trên đoạn $[0;4]$ là 195, đạt được khi $x = 4$. Câu 3. Để tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{BC}$ là vectơ từ B đến C. - Vectơ $\overrightarrow{DD'}$ là vectơ từ D đến D'. 2. Xác định tọa độ của các điểm trong hình lập phương ABCD - A'B'C'D': - Gọi A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A'(0, 0, 1), B'(1, 0, 1), C'(1, 1, 1), D'(0, 1, 1). 3. Tìm tọa độ của các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{BC}$ có tọa độ là (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0). - Vectơ $\overrightarrow{DD'}$ có tọa độ là (0, 1, 1) - (0, 1, 0) = (0, 0, 1). 4. Cộng hai vectơ: - $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'} = (0, 1, 0) + (0, 0, 1) = (0, 1, 1)$. 5. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'}$: - Độ dài của vectơ $(0, 1, 1)$ là $\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'}$ là $\sqrt{2}$. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của các điểm \( D \) và \( A' \). 2. Xác định các vectơ \( \overrightarrow{DD'} \) và \( \overrightarrow{D'A'} \). 3. Áp dụng điều kiện vuông góc để tìm \( a \) và \( b \). 4. Tính giá trị của \( -5a + 3b \). Bước 1: Tìm tọa độ của các điểm \( D \) và \( A' \). Do \( D' \) có tọa độ \( (4; 5; -5) \), ta có thể suy ra tọa độ của \( D \) từ tọa độ của \( A \) và \( A' \). Giả sử \( A' \) có tọa độ \( (x_1, y_1, z_1) \), ta có: \[ \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{DD'} \] Tọa độ của \( A' \) là: \[ A'(1, -1, z_1) \] \[ \overrightarrow{AA'} = (0, 0, z_1 - 1) \] Tọa độ của \( D \) là: \[ D(4, 5, z_D) \] \[ \overrightarrow{DD'} = (0, 0, -5 - z_D) \] Bước 2: Xác định các vectơ \( \overrightarrow{DD'} \) và \( \overrightarrow{D'A'} \). \[ \overrightarrow{DD'} = (0, 0, -6) \] \[ \overrightarrow{D'A'} = (-3, -6, z_1 + 5) \] Bước 3: Áp dụng điều kiện vuông góc để tìm \( a \) và \( b \). Điều kiện \( \overrightarrow{v} \) vuông góc với \( \overrightarrow{DD'} \): \[ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{DD'} = 0 \] \[ (a, b, 1) \cdot (0, 0, -6) = 0 \] \[ 0 + 0 - 6 = 0 \] \[ 0 = 0 \] (luôn đúng) Điều kiện \( \overrightarrow{v} \) vuông góc với \( \overrightarrow{D'A'} \): \[ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{D'A'} = 0 \] \[ (a, b, 1) \cdot (-3, -6, z_1 + 5) = 0 \] \[ -3a - 6b + z_1 + 5 = 0 \] Bước 4: Tính giá trị của \( -5a + 3b \). Giả sử \( z_1 = -5 \): \[ -3a - 6b = 0 \] \[ a + 2b = 0 \] \[ a = -2b \] Thay vào \( -5a + 3b \): \[ -5(-2b) + 3b = 10b + 3b = 13b \] Vậy giá trị của \( -5a + 3b \) là \( 13b \). Đáp số: \( 13b \)