tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x^3 +3x^2 -9x+2 trên đoạn [-6;5]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 + 3x^2 - 9x + 2 \) trên đoạn \([-6; 5]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x + 2) = 3x^2 + 6x - 9 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Do đó: \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn - Tại \( x = -6 \): \[ y(-6) = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 9(-6) + 2 = -216 + 108 + 54 + 2 = -52 \] - Tại \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 2 = -27 + 27 + 27 + 2 = 29 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 2 = 1 + 3 - 9 + 2 = -3 \] - Tại \( x = 5 \): \[ y(5) = 5^3 + 3(5)^2 - 9(5) + 2 = 125 + 75 - 45 + 2 = 157 \] Bước 4: So sánh các giá trị Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: - \( y(-6) = -52 \) - \( y(-3) = 29 \) - \( y(1) = -3 \) - \( y(5) = 157 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \(-52\). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 + 3x^2 - 9x + 2 \) trên đoạn \([-6; 5]\) là \(-52\), đạt được khi \( x = -6 \).