Giúp tớ với ạ

Câu 32: a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250 (km). Để kiểm tra mệnh đề này, ta tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: - Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 300 (km). - Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 50 (km). Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất = 300 - 50 = 250 (km). Vậy mệnh đề này là đúng. b) Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 79,17. Để kiểm tra mệnh đề này, ta cần tính khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tử phân vị là khoảng giữa hai giá trị phân vị thứ 1 và thứ 3. Ta tính phân vị thứ 1 (Q1) và phân vị thứ 3 (Q3): - Tổng số ngày là 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30 ngày. - Vị trí của Q1 là $\frac{1}{4} \times 30 = 7,5$, tức là ở nhóm [100; 150). - Vị trí của Q3 là $\frac{3}{4} \times 30 = 22,5$, tức là ở nhóm [150; 200). Ta tính giá trị của Q1 và Q3: - Q1 = 100 + $\frac{7,5 - 5}{10} \times 50 = 100 + 12,5 = 112,5$ (km). - Q3 = 150 + $\frac{22,5 - 15}{9} \times 50 = 150 + 41,67 = 191,67$ (km). Khoảng tử phân vị = Q3 - Q1 = 191,67 - 112,5 = 79,17 (km). Vậy mệnh đề này là đúng. c) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 145. Để kiểm tra mệnh đề này, ta tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: - Ta tính tổng các giá trị nhân với tần suất tương ứng: - 50 + 100 + 150 + 200 + 250 = 750 (km). - Tần suất tương ứng là 5, 10, 9, 4, 2. Tổng các giá trị nhân với tần suất: - 50 × 5 + 100 × 10 + 150 × 9 + 200 × 4 + 250 × 2 = 250 + 1000 + 1350 + 800 + 500 = 3900 (km). Số trung bình = $\frac{3900}{30} = 130$ (km). Vậy mệnh đề này là sai. d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 55,68. Để kiểm tra mệnh đề này, ta cần tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Ta tính phương sai: - Ta tính bình phương của các giá trị trừ đi số trung bình rồi nhân với tần suất tương ứng: - $(50 - 130)^2 \times 5 = (-80)^2 \times 5 = 32000$ - $(100 - 130)^2 \times 10 = (-30)^2 \times 10 = 9000$ - $(150 - 130)^2 \times 9 = 20^2 \times 9 = 3600$ - $(200 - 130)^2 \times 4 = 70^2 \times 4 = 19600$ - $(250 - 130)^2 \times 2 = 120^2 \times 2 = 28800$ Tổng các bình phương: - 32000 + 9000 + 3600 + 19600 + 28800 = 93000 Phương sai = $\frac{93000}{30} = 3100$ Độ lệch chuẩn = $\sqrt{3100} \approx 55,68$ Vậy mệnh đề này là đúng. Đáp số: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 33: Để tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-2}+1}{x^2-3x+2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số $y=\frac{\sqrt{x-2}+1}{x^2-3x+2}$ có dạng phân thức chứa căn thức. Để hàm số có nghĩa, ta cần: 1. $\sqrt{x-2}$ có nghĩa khi $x - 2 \geq 0$, tức là $x \geq 2$. 2. mẫu số $x^2 - 3x + 2 \neq 0$. Ta giải phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$: \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0 \] Vậy $x = 1$ hoặc $x = 2$. Tuy nhiên, do $x \geq 2$, nên chỉ loại $x = 2$. Do đó, ĐKXĐ của hàm số là $x > 2$. Bước 2: Tìm tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại điểm đó. Từ trên, ta thấy mẫu số $x^2 - 3x + 2 = 0$ tại $x = 1$ và $x = 2$. Tuy nhiên, do $x > 2$, nên chỉ cần xét $x = 2$: \[ \lim_{x \to 2^+} y = \lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x-2}+1}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x-2}+1}{x-1} \cdot \frac{1}{x-2} \] Khi $x \to 2^+$, $\sqrt{x-2} \to 0$ và $\frac{1}{x-2} \to +\infty$. Do đó: \[ \lim_{x \to 2^+} y = +\infty \] Vậy đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng. Bước 3: Tìm tiệm cận ngang Tiệm cận ngang xảy ra khi $\lim_{x \to \pm \infty} y = L$, trong đó $L$ là hằng số hữu hạn. Ta tính: \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x-2}+1}{x^2-3x+2} \] Chia cả tử và mẫu cho $x^2$: \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x-2}}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} \] Khi $x \to \infty$, các phân số $\frac{\sqrt{x-2}}{x^2}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{3}{x}$, và $\frac{2}{x^2}$ đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{x \to \infty} y = \frac{0 + 0}{1 - 0 + 0} = 0 \] Vậy đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang. Kết luận Số đường tiệm cận đứng là 1 (đường thẳng $x = 2$). Số đường tiệm cận ngang là 1 (đường thẳng $y = 0$). Đáp số: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2. Câu 34: Để tính độ dài của vectơ $\widehat x = \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AD'}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz: - Gọi O là gốc tọa độ, A(0, 0, 0), B(5, 0, 0), D(0, 5, 0), A'(0, 0, 5), B'(5, 0, 5), D'(0, 5, 5). 2. Tìm tọa độ của các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{AB'}$ có tọa độ là $(5-0, 0-0, 5-0) = (5, 0, 5)$. - Vectơ $\overrightarrow{AD'}$ có tọa độ là $(0-0, 5-0, 5-0) = (0, 5, 5)$. 3. Tính tổng của hai vectơ: - Vectơ $\widehat x = \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AD'}$ có tọa độ là $(5+0, 0+5, 5+5) = (5, 5, 10)$. 4. Tính độ dài của vectơ $\widehat x$: - Độ dài của vectơ $\widehat x$ là: \[ |\widehat x| = \sqrt{5^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 25 + 100} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \] Vậy độ dài của vectơ $\widehat x = \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AD'}$ là $5\sqrt{6}$. Câu 35: Để tìm giá trị của \( x + y + z \), ta cần giải hệ phương trình từ điều kiện \(\overrightarrow{d} = x \cdot \overrightarrow{a} + y \cdot \overrightarrow{b} + z \cdot \overrightarrow{c}\). Ta có: \[ \overrightarrow{d} = (4, 2, 0) \] \[ \overrightarrow{a} = (1, 2, 1) \] \[ \overrightarrow{b} = (-2, 3, 4) \] \[ \overrightarrow{c} = (0, 1, 2) \] Theo đề bài, ta có: \[ (4, 2, 0) = x(1, 2, 1) + y(-2, 3, 4) + z(0, 1, 2) \] Phân tích từng thành phần tọa độ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ 2x + 3y + z = 2 \\ x + 4y + 2z = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: 1. Từ phương trình thứ nhất: \[ x = 4 + 2y \] 2. Thay \( x = 4 + 2y \) vào phương trình thứ hai: \[ 2(4 + 2y) + 3y + z = 2 \] \[ 8 + 4y + 3y + z = 2 \] \[ 7y + z = -6 \quad \text{(1)} \] 3. Thay \( x = 4 + 2y \) vào phương trình thứ ba: \[ (4 + 2y) + 4y + 2z = 0 \] \[ 4 + 6y + 2z = 0 \] \[ 6y + 2z = -4 \] \[ 3y + z = -2 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta giải hệ phương trình (1) và (2): \[ \begin{cases} 7y + z = -6 \\ 3y + z = -2 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (7y + z) - (3y + z) = -6 - (-2) \] \[ 4y = -4 \] \[ y = -1 \] Thay \( y = -1 \) vào phương trình \( 3y + z = -2 \): \[ 3(-1) + z = -2 \] \[ -3 + z = -2 \] \[ z = 1 \] Cuối cùng, thay \( y = -1 \) vào \( x = 4 + 2y \): \[ x = 4 + 2(-1) \] \[ x = 4 - 2 \] \[ x = 2 \] Vậy, ta có \( x = 2 \), \( y = -1 \), \( z = 1 \). Do đó: \[ x + y + z = 2 - 1 + 1 = 2 \] Đáp số: \( x + y + z = 2 \) Câu 36: Để tìm tọa độ của điểm \( H(x; y; z) \) là chân đường cao kẻ từ \( A \) của tam giác \( ABC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1-7, 2-3, 4-3) = (-6, -1, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2-7, 3-3, 5-3) = (-5, 0, 2) \] 2. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AH} \): Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) nên \( \overrightarrow{AH} \) vuông góc với cả \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (2-1, 3-2, 5-4) = (1, 1, 1) \] Do đó, \( \overrightarrow{AH} \) phải vuông góc với \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] Gọi \( \overrightarrow{AH} = (x-7, y-3, z-3) \), ta có: \[ (x-7) \cdot 1 + (y-3) \cdot 1 + (z-3) \cdot 1 = 0 \] \[ x + y + z - 13 = 0 \quad \text{(1)} \] 3. Tìm phương trình của đường thẳng \( AH \): Đường thẳng \( AH \) đi qua \( A(7, 3, 3) \) và vuông góc với cả \( \overrightarrow{BC} \). Ta có: \[ \overrightarrow{AH} = k \cdot \overrightarrow{n} \] Trong đó \( \overrightarrow{n} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \] Tính tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -6 & -1 & 1 \\ -5 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(-6 \cdot 2 - 1 \cdot (-5)) + \mathbf{k}(-6 \cdot 0 - (-1) \cdot (-5)) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-12 + 5) + \mathbf{k}(0 - 5) = (-2, 7, -5) \] 4. Phương trình đường thẳng \( AH \): Đường thẳng \( AH \) đi qua \( A(7, 3, 3) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{n} = (-2, 7, -5) \): \[ \frac{x-7}{-2} = \frac{y-3}{7} = \frac{z-3}{-5} = t \] Từ đây, ta có: \[ x = 7 - 2t, \quad y = 3 + 7t, \quad z = 3 - 5t \] 5. Thay vào phương trình (1): \[ (7 - 2t) + (3 + 7t) + (3 - 5t) - 13 = 0 \] \[ 7 - 2t + 3 + 7t + 3 - 5t - 13 = 0 \] \[ 13 - 13 + 0t = 0 \] Điều này luôn đúng, do đó ta đã tìm được \( t \). 6. Tìm tọa độ của \( H \): Chọn \( t = 0 \) để đơn giản hóa: \[ x = 7 - 2 \cdot 0 = 7, \quad y = 3 + 7 \cdot 0 = 3, \quad z = 3 - 5 \cdot 0 = 3 \] Vậy \( H(7, 3, 3) \). 7. Tính \( x + y + z^2 \): \[ x + y + z^2 = 7 + 3 + 3^2 = 7 + 3 + 9 = 19 \] Đáp số: \( x + y + z^2 = 19 \). Câu 37: Để tính độ dài đoạn OC trong tam giác ABC vuông tại C, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm C: - Điểm C nằm trên trục Ox nên tọa độ của nó có dạng $(x, 0, 0)$. - Vì tam giác ABC vuông tại C, nên $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$. 2. Tính các vectơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$: - $\overrightarrow{CA} = (-1 - x, 2 - 0, 3 - 0) = (-1 - x, 2, 3)$. - $\overrightarrow{CB} = (2 - x, 0 - 0, -6 - 0) = (2 - x, 0, -6)$. 3. Áp dụng điều kiện vuông góc: - $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-1 - x)(2 - x) + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-6) = 0$. - $( -1 - x)(2 - x) - 18 = 0$. - $-2 + x - 2x + x^2 - 18 = 0$. - $x^2 - x - 20 = 0$. 4. Giải phương trình bậc hai: - $x^2 - x - 20 = 0$. - $(x - 5)(x + 4) = 0$. - $x = 5$ hoặc $x = -4$. 5. Chọn giá trị đúng cho x: - Vì điểm C có hoành độ dương trên trục Ox, ta chọn $x = 5$. 6. Tính độ dài đoạn OC: - Độ dài đoạn OC là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm $(5, 0, 0)$. - $OC = |5| = 5$. Vậy độ dài đoạn OC là 5. Câu 38: Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(M\) thẳng hàng, vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AM} \) phải cùng phương. Ta tính các vectơ này: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 1, -2 - 3, 3 - 1) = (0, -5, 2) \] \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x - 1, 0 - 3, z - 1) = (x - 1, -3, z - 1) \] Để hai vectơ cùng phương, ta có: \[ \frac{x - 1}{0} = \frac{-3}{-5} = \frac{z - 1}{2} \] Từ đây, ta thấy rằng: \[ \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5} \] Do đó: \[ \frac{z - 1}{2} = \frac{3}{5} \] Giải phương trình này để tìm \(z\): \[ z - 1 = \frac{6}{5} \] \[ z = \frac{6}{5} + 1 = \frac{6}{5} + \frac{5}{5} = \frac{11}{5} \] Tiếp theo, ta cần tìm \(x\). Vì \(\frac{x - 1}{0}\) không xác định, ta cần kiểm tra lại điều kiện thẳng hàng khác. Ta có thể sử dụng phương pháp tỉ lệ: \[ \frac{x - 1}{0} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5} \] Do đó: \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức \(P = 3z - x^2\): \[ P = 3 \left( \frac{11}{5} \right) - 1^2 \] \[ P = \frac{33}{5} - 1 \] \[ P = \frac{33}{5} - \frac{5}{5} \] \[ P = \frac{28}{5} \] Vậy giá trị của biểu thức \(P\) là: \[ \boxed{\frac{28}{5}} \] Câu 39: Điều kiện xác định: \( M(x, b, c) \) thuộc mặt phẳng (Oxz) nên \( b = 0 \). Do đó, tọa độ của điểm \( M \) là \( M(x, 0, c) \). Để \( M \) cách đều ba điểm \( A, B, C \), ta có: \[ MA = MB = MC \] Tính khoảng cách từ \( M \) đến các điểm \( A, B, C \): \[ MA = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 1)^2 + (c - 1)^2} \] \[ MB = \sqrt{(x + 1)^2 + (0 - 1)^2 + c^2} \] \[ MC = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 1)^2 + (c + 1)^2} \] Bằng nhau: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + 1 + (c - 1)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + 1 + c^2} \] \[ \sqrt{(x - 1)^2 + 1 + (c - 1)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 1 + (c + 1)^2} \] Bình phương hai vế để loại bỏ căn: \[ (x - 1)^2 + 1 + (c - 1)^2 = (x + 1)^2 + 1 + c^2 \] \[ (x - 1)^2 + 1 + (c - 1)^2 = (x - 3)^2 + 1 + (c + 1)^2 \] Giải phương trình đầu tiên: \[ (x - 1)^2 + (c - 1)^2 = (x + 1)^2 + c^2 \] \[ x^2 - 2x + 1 + c^2 - 2c + 1 = x^2 + 2x + 1 + c^2 \] \[ -2x - 2c + 1 = 2x + 1 \] \[ -4x - 2c = 0 \] \[ 2x + c = 0 \] \[ c = -2x \] Giải phương trình thứ hai: \[ (x - 1)^2 + (c - 1)^2 = (x - 3)^2 + (c + 1)^2 \] \[ x^2 - 2x + 1 + c^2 - 2c + 1 = x^2 - 6x + 9 + c^2 + 2c + 1 \] \[ -2x - 2c + 2 = -6x + 10 + 2c \] \[ 4x - 4c = 8 \] \[ x - c = 2 \] \[ x + 2x = 2 \] \[ 3x = 2 \] \[ x = \frac{2}{3} \] Thay \( x = \frac{2}{3} \) vào \( c = -2x \): \[ c = -2 \left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{3} \] Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( M\left(\frac{2}{3}, 0, -\frac{4}{3}\right) \). Tổng \( a + b + c \): \[ a + b + c = \frac{2}{3} + 0 - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} \approx -0.7 \] Đáp số: \( a + b + c = -0.7 \) Câu 40: Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số khách hàng nữ: Tổng số khách hàng nữ = 3 + 9 + 6 + 4 + 2 = 24 2. Xác định vị trí của tử phân vị: Tử phân vị là giá trị chia dãy số thành 4 phần bằng nhau. Do đó, ta cần tìm giá trị ở vị trí $\frac{24}{4} = 6$ và $\frac{24}{4} \times 3 = 18$. 3. Xác định khoảng chứa tử phân vị: - Vị trí thứ 6 nằm trong nhóm [30; 40) vì: - Nhóm [20; 30) có 3 khách hàng, không đủ để đến vị trí thứ 6. - Nhóm [30; 40) có 9 khách hàng, đủ để chứa vị trí thứ 6. - Vị trí thứ 18 nằm trong nhóm [40; 50) vì: - Nhóm [20; 30) có 3 khách hàng. - Nhóm [30; 40) có 9 khách hàng, tổng là 12 khách hàng, chưa đủ để đến vị trí thứ 18. - Nhóm [40; 50) có 6 khách hàng, tổng là 18 khách hàng, đủ để chứa vị trí thứ 18. 4. Kết luận khoảng tử phân vị: - Tử phân vị thứ nhất nằm trong nhóm [30; 40). - Tử phân vị thứ ba nằm trong nhóm [40; 50). Do đó, khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là từ [30; 40) đến [40; 50).