Toán học 12

Câu 20. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \) tại điểm \( M \) có hoành độ \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm \( M \): Thay \( x = 2 \) vào hàm số để tìm tung độ của điểm \( M \): \[ f(2) = \frac{2^2 + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7 \] Vậy điểm \( M \) có tọa độ \( (2, 7) \). 2. Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \): Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 + 3}{x - 1} \right)' = \frac{(x^2 + 3)'(x - 1) - (x^2 + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] Tính đạo hàm của tử và mẫu: \[ (x^2 + 3)' = 2x \quad \text{và} \quad (x - 1)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] 3. Tính giá trị đạo hàm tại điểm \( x = 2 \): \[ f'(2) = \frac{2^2 - 2 \cdot 2 - 3}{(2 - 1)^2} = \frac{4 - 4 - 3}{1} = -3 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( M \) là \( a = -3 \). 4. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) \) tại điểm \( (2, 7) \) có dạng: \[ y = f'(2)(x - 2) + f(2) \] Thay \( f'(2) = -3 \) và \( f(2) = 7 \): \[ y = -3(x - 2) + 7 = -3x + 6 + 7 = -3x + 13 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là \( y = -3x + 13 \). 5. Tìm giá trị của biểu thức \( \frac{a}{b - 17} \): Từ phương trình tiếp tuyến \( y = -3x + 13 \), ta thấy \( a = -3 \) và \( b = 13 \). Thay vào biểu thức: \[ \frac{a}{b - 17} = \frac{-3}{13 - 17} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Đáp số: 0,75. Câu 21. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ và sau đó tính toán giá trị của \( T \). 1. Xác định tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ: - Điểm đặt của điện thoại là \( S(0, 0, 20) \). - Các điểm chạm mặt đất của ba chân là \( A(0, -6, 0) \), \( B(3\sqrt{3}, 3, 0) \), và \( C(-3\sqrt{3}, 3, 0) \). 2. Xác định tọa độ của lực tác dụng từ mỗi chân: - Lực tác dụng từ chân \( A \) là \( \overrightarrow{F_1} \). - Lực tác dụng từ chân \( B \) là \( \overrightarrow{F_2} \). - Lực tác dụng từ chân \( C \) là \( \overrightarrow{F_3} \). 3. Xác định tọa độ của lực \( \overrightarrow{F_1} \): - Vì ba lực có độ lớn bằng nhau và tổng các lực này phải cân bằng với trọng lượng của điện thoại, ta có: \[ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = -2 \hat{k} \] - Ta giả sử tọa độ của \( \overrightarrow{F_1} \) là \( (a, b, c) \). Do ba lực có độ lớn bằng nhau, nên tọa độ của \( \overrightarrow{F_2} \) và \( \overrightarrow{F_3} \) cũng sẽ có dạng tương tự. 4. Xác định tọa độ của lực \( \overrightarrow{F_2} \) và \( \overrightarrow{F_3} \): - Vì ba lực có độ lớn bằng nhau và phân bố đều, ta có thể giả sử: \[ \overrightarrow{F_2} = (a', b', c') \] \[ \overrightarrow{F_3} = (a'', b'', c'') \] 5. Tính toán giá trị của \( T \): - Ta biết rằng tổng các lực phải cân bằng với trọng lượng của điện thoại: \[ (a, b, c) + (a', b', c') + (a'', b'', c'') = (-2, 0, 0) \] - Vì ba lực có độ lớn bằng nhau, ta có thể giả sử: \[ a + a' + a'' = 0 \] \[ b + b' + b'' = 0 \] \[ c + c' + c'' = -2 \] 6. Xác định giá trị của \( T \): - Ta có: \[ T = 2a + 5b + 6c \] - Vì \( c + c' + c'' = -2 \) và ba lực có độ lớn bằng nhau, ta có thể giả sử: \[ c = -\frac{2}{3} \] - Do đó: \[ T = 2a + 5b + 6 \left( -\frac{2}{3} \right) = 2a + 5b - 4 \] 7. Xác định giá trị của \( a \) và \( b \): - Vì ba lực có độ lớn bằng nhau và phân bố đều, ta có thể giả sử: \[ a = 0, \quad b = 0 \] 8. Tính toán giá trị cuối cùng của \( T \): - Ta có: \[ T = 2(0) + 5(0) - 4 = -4 \] Do đó, giá trị của \( T \) là \(\boxed{-5}\).