Zzzzxxzxxxxzzxxxxxx

Câu 13: Để xác định hàm số đúng với bảng biến thiên đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một. a. \( y = \frac{-x + 2}{x - 1} \) - Tìm giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{-x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x - 1) + 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \left( -1 + \frac{1}{x - 1} \right) \] Khi \( x \to 1^+ \), \( \frac{1}{x - 1} \to +\infty \), do đó \( y \to +\infty \). Khi \( x \to 1^- \), \( \frac{1}{x - 1} \to -\infty \), do đó \( y \to -\infty \). - Tìm giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-1 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = -1 \] - Kiểm tra đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{(-1)(x - 1) - (-x + 2)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-x + 1 + x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-1}{(x - 1)^2} < 0 \] Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. b. \( y = \frac{x + 2}{x - 1} \) - Tìm giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) + 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \left( 1 + \frac{3}{x - 1} \right) \] Khi \( x \to 1^+ \), \( \frac{3}{x - 1} \to +\infty \), do đó \( y \to +\infty \). Khi \( x \to 1^- \), \( \frac{3}{x - 1} \to -\infty \), do đó \( y \to -\infty \). - Tìm giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 1 \] - Kiểm tra đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{(1)(x - 1) - (x + 2)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2} < 0 \] Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. c. \( y = \frac{x + 2}{x + 1} \) - Tìm giới hạn khi \( x \to -1 \): \[ \lim_{x \to -1} \frac{x + 2}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1) + 1}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \left( 1 + \frac{1}{x + 1} \right) \] Khi \( x \to -1^+ \), \( \frac{1}{x + 1} \to +\infty \), do đó \( y \to +\infty \). Khi \( x \to -1^- \), \( \frac{1}{x + 1} \to -\infty \), do đó \( y \to -\infty \). - Tìm giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 2}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 1 \] - Kiểm tra đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{(1)(x + 1) - (x + 2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{-1}{(x + 1)^2} < 0 \] Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. d. \( y = \frac{x - 3}{x - 1} \) - Tìm giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \left( 1 - \frac{2}{x - 1} \right) \] Khi \( x \to 1^+ \), \( \frac{2}{x - 1} \to +\infty \), do đó \( y \to -\infty \). Khi \( x \to 1^- \), \( \frac{2}{x - 1} \to -\infty \), do đó \( y \to +\infty \). - Tìm giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 3}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 1 \] - Kiểm tra đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{(1)(x - 1) - (x - 3)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x + 3}{(x - 1)^2} = \frac{2}{(x - 1)^2} > 0 \] Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. So sánh với bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số \( y = \frac{x + 2}{x - 1} \) có các tính chất tương ứng với bảng biến thiên đã cho. Vậy đáp án đúng là: b. \( y = \frac{x + 2}{x - 1} \). Câu 14: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{4x + 3}{x - 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{x - 2} \] Ta chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \] Khi \( x \) tiến đến vô cùng, các phân số \( \frac{3}{x} \) và \( \frac{2}{x} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4 + 0}{1 - 0} = 4 \] 2. Kết luận: Giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng là 4, do đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = 4 \). Vậy đáp án đúng là: c. \( y = 4 \). Câu 15: Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho bằng cách tính các giới hạn và điểm đặc biệt. a. \( y = \frac{2x - 1}{x - 1} \) - Giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2(1) - 1}{1 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{0} \] Điều này cho thấy hàm số có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). - Giới hạn khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2 \] Điều này cho thấy hàm số có đường tiệm cận ngang tại \( y = 2 \). b. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) - Giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1 + 1}{1 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{0} \] Điều này cho thấy hàm số có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). - Giới hạn khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 1 \] Điều này cho thấy hàm số có đường tiệm cận ngang tại \( y = 1 \). c. \( y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) - Giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1 + 1}{1 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{0} \] Điều này cho thấy hàm số có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). - Giới hạn khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}{x(1 - \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x^2})}{1 - \frac{1}{x}} = \infty \] Điều này cho thấy hàm số không có đường tiệm cận ngang. d. \( y = x^3 - 3x - 1 \) - Giới hạn khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} x^3 - 3x - 1 = \infty \] - Giới hạn khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} x^3 - 3x - 1 = -\infty \] Hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \) là một hàm đa thức bậc ba, không có đường tiệm cận đứng hoặc ngang. Từ các tính toán trên, ta thấy rằng đường cong trong hình vẽ có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và đường tiệm cận ngang tại \( y = 1 \). Do đó, đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \). Đáp án đúng là: b. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) Câu 16: Trước hết, ta xác định các đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH: - Các đỉnh: A, B, C, D, E, F, G, H. - Các cạnh: AB, BC, CD, DA, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, HE. - Các mặt: ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE, BCGF. Bây giờ, ta sẽ lập luận từng bước về các tính chất của hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH: 1. Các mặt của hình hộp chữ nhật: - Các mặt ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE, BCGF đều là hình chữ nhật. - Các mặt đối diện của hình hộp chữ nhật bằng nhau và song song với nhau. 2. Các cạnh của hình hộp chữ nhật: - Các cạnh đối diện của hình hộp chữ nhật bằng nhau và song song với nhau. - Các cạnh góc vuông với nhau tại các đỉnh của hình hộp chữ nhật. 3. Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: - Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là tổng diện tích của sáu mặt. - Diện tích toàn phần = 2 × (diện tích mặt đáy + diện tích mặt bên 1 + diện tích mặt bên 2). 4. Thể tích của hình hộp chữ nhật: - Thể tích của hình hộp chữ nhật là tích của chiều dài, chiều rộng và chiều cao. - Thể tích = chiều dài × chiều rộng × chiều cao. 5. Đường chéo của hình hộp chữ nhật: - Đường chéo của hình hộp chữ nhật là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện của hình hộp chữ nhật. - Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật có thể tính bằng công thức: \( d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2} \), trong đó l là chiều dài, w là chiều rộng và h là chiều cao. Như vậy, ta đã lập luận từng bước về các tính chất của hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH.