Đáp án đúng Câu 11. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng các diện tích $S_1,S_2$,thỏa mãn $S_1=2S_2=3.$ Tích phân $\int^4_0f(x)dx$ bằng,,A. 3 $B.~\frac32$ $C.~-\frac32$ $D.~\frac92$,Câu 12. Bất phương trình $(\frac12)^{x^2+4x}\frac1{32}$ có tập nghiệm là $S=(a;b).$ Khi đó giá trị của $b-a$ là,A. 4. B. 2. C. 6. D. 8.,PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng - sai,Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm $A(1;-1;3),~B(0;-4;-1),~C(2;-1;2)$ và,$D(3;-1;-8).$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:,$a)~\overrightarrow{AB}=(-1;-3;-4).$,b) Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $(6;-10;6).$,c) Phương trình của mặt phẳng (ABC) là $3x-5y+3z-17=0.$,d) Bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một mặt phẳng.,Câu 14. Giả sử một chiếc thuyền vào sông tại điểm (1;0) và giữ hướng về phía gốc tọa độ. Do dòng chảy,mạnh, thuyền đi theo đường cong có phương trình $y=\frac{x^2-1}{2x},$ trong đó x và y tính bằng kilomet (Như hình,vẽ bên dưới).,,a) Nếu duy trì hướng đi, thuyền sẽ đến được gốc tọa độ.,b) Trên hướng chuyển động con tàu đi qua điểm $N(\frac12;-\frac32)$,c) Trên hướng chuyển động, tại một vị trí $M(a;\frac{a^2-1}{2a})$ bất kì, khoảng cách giữa thuyền đến gốc tọa độ,bằng $OM=a^2+(\frac{a^2-1}{2a})^2.(km)$,d) Chiếc thuyền gần gốc toạ độ nhất một khoảng $\frac{\sqrt5-1}2.$,Câu 15. Một doanh nghiệp có 45% nhân viên là nữ. Tỉ lệ nhân viên nữ và tỉ lệ nhân viên nam mua báo,hiểm nhân thọ lần lượt là 7% và 5%. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của doanh nghiệp,a) Xác suất nhân viên được chọn là nam là 0,45.,b) Xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là 0,061.

Question

Đáp án đúng Câu 11. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng các diện tích $S_1,S_2$,thỏa mãn $S_1=2S_2=3.$ Tích phân $\int^4_0f(x)dx$ bằng,

,A. 3 $B.~\frac32$ $C.~-\frac32$ $D.~\frac92$,Câu 12. Bất phương trình $(\frac12)^{x^2+4x}>\frac1{32}$ có tập nghiệm là $S=(a;b).$ Khi đó giá trị của $b-a$ là,A. 4. B. 2. C. 6. D. 8.,PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng - sai,Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm $A(1;-1;3),~B(0;-4;-1),~C(2;-1;2)$ và,$D(3;-1;-8).$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:,$a)~\overrightarrow{AB}=(-1;-3;-4).$,b) Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $(6;-10;6).$,c) Phương trình của mặt phẳng (ABC) là $3x-5y+3z-17=0.$,d) Bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một mặt phẳng.,Câu 14. Giả sử một chiếc thuyền vào sông tại điểm (1;0) và giữ hướng về phía gốc tọa độ. Do dòng chảy,mạnh, thuyền đi theo đường cong có phương trình $y=\frac{x^2-1}{2x},$ trong đó x và y tính bằng kilomet (Như hình,vẽ bên dưới).,

,a) Nếu duy trì hướng đi, thuyền sẽ đến được gốc tọa độ.,b) Trên hướng chuyển động con tàu đi qua điểm $N(\frac12;-\frac32)$,c) Trên hướng chuyển động, tại một vị trí $M(a;\frac{a^2-1}{2a})$ bất kì, khoảng cách giữa thuyền đến gốc tọa độ,bằng $OM=a^2+(\frac{a^2-1}{2a})^2.(km)$,d) Chiếc thuyền gần gốc toạ độ nhất một khoảng $\frac{\sqrt5-1}2.$,Câu 15. Một doanh nghiệp có 45% nhân viên là nữ. Tỉ lệ nhân viên nữ và tỉ lệ nhân viên nam mua báo,hiểm nhân thọ lần lượt là 7% và 5%. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của doanh nghiệp,a) Xác suất nhân viên được chọn là nam là 0,45.,b) Xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là 0,061.

Accepted Answer

Câu 11. Để tính tích phân $\int_{0}^{4} f(x) \, dx$, ta sẽ chia tích phân này thành hai phần dựa vào các diện tích đã cho trong đề bài. Tích phân $\int_{0}^{4} f(x) \, dx$ có thể được viết dưới dạng: $$ \int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx $$ Theo đề bài, diện tích $S_1$ và $S_2$ thỏa mãn $S_1 = 2S_2 = 3$. Điều này có nghĩa là: $$ S_1 = 3 $$ $$ S_2 = \frac{3}{2} $$ Diện tích $S_1$ là diện tích giữa đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành từ $x = 0$ đến $x = 2$. Diện tích $S_2$ là diện tích giữa đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành từ $x = 2$ đến $x = 4$. Do đó: $$ \int_{0}^{2} f(x) \, dx = -3 $$ (vì diện tích nằm phía dưới trục hoành) $$ \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \frac{3}{2} $$ (vì diện tích nằm phía trên trục hoành) Vậy tích phân $\int_{0}^{4} f(x) \, dx$ là: $$ \int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = -3 + \frac{3}{2} = -\frac{6}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} $$ Đáp án đúng là: $$ C.~-\frac{3}{2} $$ Câu 12. Để giải bất phương trình $(\frac{1}{2})^{x^2 + 4x} > \frac{1}{32}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại bất phương trình dưới dạng cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{32}$ có thể viết thành $(\frac{1}{2})^5$. Do đó, bất phương trình trở thành: $$ (\frac{1}{2})^{x^2 + 4x} > (\frac{1}{2})^5 $$ 2. So sánh các mũ trong bất phương trình: Vì cơ số $\frac{1}{2}$ là một số nhỏ hơn 1, nên khi cơ số nhỏ hơn 1, bất phương trình sẽ đảo chiều khi so sánh các mũ. Do đó, ta có: $$ x^2 + 4x < 5 $$ 3. Giải bất phương trình bậc hai: Ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế để giải bất phương trình bậc hai: $$ x^2 + 4x - 5 < 0 $$ Ta giải phương trình bậc hai tương ứng: $$ x^2 + 4x - 5 = 0 $$ Tìm nghiệm của phương trình này bằng công thức nghiệm: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Với $a = 1$, $b = 4$, $c = -5$: $$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} $$ Ta có hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5 $$ 4. Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình: Bất phương trình $x^2 + 4x - 5 < 0$ có nghiệm nằm giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai: $$ -5 < x < 1 $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-5; 1)$. 5. Tính giá trị của $b - a$: Trong tập nghiệm $S = (-5; 1)$, ta có $a = -5$ và $b = 1$. Do đó: $$ b - a = 1 - (-5) = 1 + 5 = 6 $$ Vậy giá trị của $b - a$ là $\boxed{6}$. Câu 13. a) Ta có $\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1, -4 + 1, -1 - 3) = (-1, -3, -4)$. Do đó, mệnh đề này đúng. b) Ta cần kiểm tra xem véc tơ pháp tuyến $(6, -10, 6)$ có vuông góc với cả hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ hay không. Ta có: $\overrightarrow{AB} = (-1, -3, -4)$ $\overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 1, -1 + 1, 2 - 3) = (1, 0, -1)$ Kiểm tra tính vuông góc: $(6, -10, 6) \cdot (-1, -3, -4) = 6 \times (-1) + (-10) \times (-3) + 6 \times (-4) = -6 + 30 - 24 = 0$ $(6, -10, 6) \cdot (1, 0, -1) = 6 \times 1 + (-10) \times 0 + 6 \times (-1) = 6 + 0 - 6 = 0$ Vì cả hai tích vô hướng đều bằng 0, do đó véc tơ pháp tuyến $(6, -10, 6)$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Mệnh đề này đúng. c) Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta đã biết véc tơ pháp tuyến là $(6, -10, 6)$, do đó phương trình mặt phẳng có dạng: $$6x - 10y + 6z + d = 0$$ Thay tọa độ của điểm A vào phương trình để tìm d: $$6(1) - 10(-1) + 6(3) + d = 0$$ $$6 + 10 + 18 + d = 0$$ $$34 + d = 0$$ $$d = -34$$ Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: $$6x - 10y + 6z - 34 = 0$$ Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: $$3x - 5y + 3z - 17 = 0$$ Mệnh đề này đúng. d) Để kiểm tra xem bốn điểm A, B, C, D có cùng thuộc một mặt phẳng hay không, ta thay tọa độ của điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC): $$3(3) - 5(-1) + 3(-8) - 17 = 0$$ $$9 + 5 - 24 - 17 = 0$$ $$14 - 41 = 0$$ $$-27 \neq 0$$ Vì phương trình không thỏa mãn, do đó điểm D không nằm trên mặt phẳng (ABC). Mệnh đề này sai. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 14. a) Ta thấy khi $x$ tiến đến 0 thì $y$ tiến đến $-\frac{1}{2}$. Do đó, nếu duy trì hướng đi, thuyền sẽ không đến được gốc tọa độ. b) Ta thay $x = \frac{1}{2}$ vào phương trình $y = \frac{x^2 - 1}{2x}$: $$ y = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4} - 1}{1} = \frac{-\frac{3}{4}}{1} = -\frac{3}{4}. $$ Do đó, điểm $N\left(\frac{1}{2}; -\frac{3}{4}\right)$ không nằm trên đường cong $y = \frac{x^2 - 1}{2x}$. c) Ta tính khoảng cách từ điểm $M(a; \frac{a^2 - 1}{2a})$ đến gốc tọa độ $O(0,0)$: $$ OM = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{2a}\right)^2}. $$ d) Để tìm khoảng cách gần nhất từ thuyền đến gốc tọa độ, ta cần tối thiểu hóa khoảng cách $OM$: $$ OM = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{2a}\right)^2}. $$ Ta đặt $f(a) = a^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{2a}\right)^2$ và tìm giá trị nhỏ nhất của $f(a)$. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của $f(a)$: $$ f'(a) = 2a + 2 \cdot \frac{a^2 - 1}{2a} \cdot \left(1 - \frac{1}{a^2}\right). $$ Simplifying further: $$ f'(a) = 2a + \frac{(a^2 - 1)(a^2 - 1)}{2a^3} = 2a + \frac{(a^2 - 1)^2}{2a^3}. $$ Đặt $f'(a) = 0$ để tìm điểm cực tiểu: $$ 2a + \frac{(a^2 - 1)^2}{2a^3} = 0. $$ $$ 4a^4 + (a^2 - 1)^2 = 0. $$ $$ 4a^4 + a^4 - 2a^2 + 1 = 0. $$ $$ 5a^4 - 2a^2 + 1 = 0. $$ Đặt $u = a^2$, ta có: $$ 5u^2 - 2u + 1 = 0. $$ Giải phương trình bậc hai này: $$ u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{10} = \frac{2 \pm 4i}{10} = \frac{1 \pm 2i}{5}. $$ Do $u = a^2$ phải là số thực dương, nên ta loại các giá trị phức. Ta kiểm tra lại phương trình ban đầu và thấy rằng giá trị thực của $a$ là $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$. Vậy khoảng cách gần nhất từ thuyền đến gốc tọa độ là: $$ OM = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)^2 - 1}{2 \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}\right)^2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. $$ Đáp số: d) Chiếc thuyền gần gốc tọa độ nhất một khoảng $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$. Câu 15. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định xác suất ban đầu - Xác suất để chọn một nhân viên nữ là $ P(Nữ) = 0,45 $. - Xác suất để chọn một nhân viên nam là $ P(Nam) = 1 - P(Nữ) = 1 - 0,45 = 0,55 $. Bước 2: Xác định xác suất mua bảo hiểm nhân thọ - Xác suất nhân viên nữ mua bảo hiểm nhân thọ là $ P(Bảo hiểm | Nữ) = 0,07 $. - Xác suất nhân viên nam mua bảo hiểm nhân thọ là $ P(Bảo hiểm | Nam) = 0,05 $. Bước 3: Áp dụng công thức xác suất tổng hợp Xác suất để chọn một nhân viên mua bảo hiểm nhân thọ là: $$ P(Bảo hiểm) = P(Nữ) \times P(Bảo hiểm | Nữ) + P(Nam) \times P(Bảo hiểm | Nam) $$ Thay các giá trị đã biết vào: $$ P(Bảo hiểm) = 0,45 \times 0,07 + 0,55 \times 0,05 $$ $$ P(Bảo hiểm) = 0,0315 + 0,0275 $$ $$ P(Bảo hiểm) = 0,059 $$ Kết luận Xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là $ 0,059 $. Đáp số: $ 0,059 $.