Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D
CM AB^2=4BC.AD

Question

ᴳᵒᵈ乡 Gấu ᵛᶰシ · Accepted Answer

Vì DA, DM là các tiếp tuyến của (O) nên DA=DM
Mà OA=OM
Do đó OD là đường trung trực của AM
$\displaystyle \Longrightarrow OD$ là phân giác của $\displaystyle \widehat{AOM}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AOD} =\frac{\widehat{AOM}}{2}$
Vì CB, CM là các tiếp tuyến của (O) nên CB=CM
Mà OB=OM
Do đó OC là đường trung trực của MB
$\displaystyle \Longrightarrow OC\ $là phân giác của $\displaystyle \widehat{BOM}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BOC} =\frac{\widehat{BOM}}{2}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{AOD} +\widehat{BOC} =\frac{\widehat{AOM}}{2} +\frac{\widehat{BOM}}{2} =\frac{180^{0}}{2} =90^{0}$
$\displaystyle \vartriangle AOD$ vuông tại A có: $\displaystyle \widehat{AOD} +\widehat{ADO} =90^{0}$
Do đó $\displaystyle \widehat{ADO} =\widehat{BOC}$
Xét $\displaystyle \vartriangle ADO$ vuông tại A và $\displaystyle \vartriangle BOC$ vuông tại B có:
$\displaystyle \widehat{ADO} =\widehat{BOC}$
Do đó $\displaystyle \vartriangle ADO\backsim \vartriangle BOC$ (g.g)
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{AD}{OB} =\frac{OA}{BC} \Longrightarrow AD.BC=OA.OB=\frac{AB^{2}}{4}$

Timi · Answer

Để chứng minh $AB^2 = 4BC \cdot AD$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các đoạn thẳng và góc liên quan:
   - $O$ là tâm của nửa đường tròn.
   - $AB$ là đường kính của nửa đường tròn.
   - $M$ là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn.
   - $Ax$ và $By$ là các tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của nửa đường tròn.
   - $CD$ là tiếp tuyến tại $M$ của nửa đường tròn, cắt $Ax$ tại $C$ và $By$ tại $D$.

2. Áp dụng tính chất tiếp tuyến:
   - Vì $Ax$ và $By$ là tiếp tuyến tại $A$ và $B$, nên $OA \perp Ax$ và $OB \perp By$.
   - Tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với bán kính $OM$, tức là $OM \perp CD$.

3. Tính chất tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn:
   - Từ một điểm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến thì hai tiếp tuyến đó bằng nhau.
   - Do đó, $CA = CM$ và $DB = DM$.

4. Áp dụng tính chất tam giác vuông:
   - Xét tam giác $OAC$ và $OBD$:
     - $OA = OB$ (vì $O$ là tâm của nửa đường tròn).
     - $OC = OD$ (vì $C$ và $D$ đều là tiếp điểm của tiếp tuyến từ $M$).
     - $AC = BD$ (do tính chất tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn).

5. Tính diện tích tam giác $OAC$ và $OBD$:
   - Diện tích tam giác $OAC$ là $\frac{1}{2} \times OA \times AC$.
   - Diện tích tam giác $OBD$ là $\frac{1}{2} \times OB \times BD$.

6. Diện tích tam giác $OCD$:
   - Diện tích tam giác $OCD$ là $\frac{1}{2} \times OC \times OD$.

7. Tổng diện tích tam giác $OAC$ và $OBD$:
   - Tổng diện tích tam giác $OAC$ và $OBD$ là:
     $$
     \text{Diện tích } OAC + \text{Diện tích } OBD = \frac{1}{2} \times OA \times AC + \frac{1}{2} \times OB \times BD
     $$
   - Vì $OA = OB$ và $AC = BD$, nên:
     $$
     \text{Diện tích } OAC + \text{Diện tích } OBD = \frac{1}{2} \times OA \times AC + \frac{1}{2} \times OA \times AC = OA \times AC
     $$

8. Diện tích tam giác $OCD$:
   - Diện tích tam giác $OCD$ là:
     $$
     \text{Diện tích } OCD = \frac{1}{2} \times OC \times OD
     $$

9. Tổng diện tích tam giác $OAC$ và $OBD$ bằng diện tích tam giác $OCD$:
   - Vì $OC = OD$ và $AC = BD$, nên:
     $$
     OA \times AC = \frac{1}{2} \times OC \times OD
     $$

10. Tính toán cuối cùng:
    - Ta có $OA = \frac{AB}{2}$ và $OC = OD = \sqrt{OA^2 + AC^2}$.
    - Thay vào ta có:
      $$
      \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = BC \cdot AD
      $$
    - Nhân cả hai vế với 4 ta được:
      $$
      AB^2 = 4 \cdot BC \cdot AD
      $$

Vậy ta đã chứng minh được $AB^2 = 4BC \cdot AD$.

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By...