giúp e với ạ

Câu 8: Để tìm tọa độ của đỉnh \( A' \) trong hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \), ta cần xác định tọa độ của đỉnh \( A' \) dựa trên tọa độ của các đỉnh khác và tính chất của hình hộp. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh \( B', C', D' \) dựa trên tọa độ của các đỉnh \( A, B, C, D \). 1. Tìm tọa độ của \( B' \): - Vì \( B' \) nằm thẳng đứng so với \( B \) và cùng nằm trên đường thẳng song song với \( AA' \), nên tọa độ của \( B' \) sẽ giống như \( B \) nhưng thay đổi theo chiều dọc (tọa độ z). - Ta có \( B(5;7;-4) \). Giả sử tọa độ của \( A' \) là \( (x,y,z) \), thì tọa độ của \( B' \) sẽ là \( (5,7,z) \). 2. Tìm tọa độ của \( C' \): - Vì \( C' \) nằm thẳng đứng so với \( C \) và cùng nằm trên đường thẳng song song với \( CC' \), nên tọa độ của \( C' \) sẽ giống như \( C \) nhưng thay đổi theo chiều dọc (tọa độ z). - Ta có \( C(5;6;-4) \). Giả sử tọa độ của \( C' \) là \( (5,6,z) \). 3. Tìm tọa độ của \( D' \): - Vì \( D' \) nằm thẳng đứng so với \( D \) và cùng nằm trên đường thẳng song song với \( DD' \), nên tọa độ của \( D' \) sẽ giống như \( D \) nhưng thay đổi theo chiều dọc (tọa độ z). - Ta có \( D(2;0;2) \). Giả sử tọa độ của \( D' \) là \( (2,0,z) \). 4. Tìm tọa độ của \( A' \): - Vì \( A' \) nằm thẳng đứng so với \( A \) và cùng nằm trên đường thẳng song song với \( AA' \), nên tọa độ của \( A' \) sẽ giống như \( A \) nhưng thay đổi theo chiều dọc (tọa độ z). - Ta có \( A(4;6;-5) \). Giả sử tọa độ của \( A' \) là \( (4,6,z) \). Do đó, tọa độ của \( A' \) sẽ là \( (4,6,z) \). Ta thấy rằng tọa độ của \( A' \) phải thỏa mãn điều kiện của hình hộp, tức là các cạnh song song và bằng nhau. Do đó, tọa độ của \( A' \) sẽ là \( (4,6,2) \). Vậy tọa độ của đỉnh \( A' \) là \( (4,6,2) \). Đáp án đúng là: \( C.~A'(4,6,2) \). Câu 9: Trọng tâm của tam giác MNP có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của tam giác. Tọa độ của trọng tâm G của tam giác MNP được tính như sau: \[ G = \left( \frac{x_M + x_N + x_P}{3}, \frac{y_M + y_N + y_P}{3}, \frac{z_M + z_N + z_P}{3} \right) \] Thay tọa độ của các điểm M, N, P vào công thức trên: \[ x_G = \frac{0 + (-1) + 1}{3} = \frac{0 - 1 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] \[ y_G = \frac{2 + (-2) + 3}{3} = \frac{2 - 2 + 3}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] \[ z_G = \frac{1 + 3 + 2}{3} = \frac{1 + 3 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] Vậy tọa độ của trọng tâm G là: \[ G = (0, 1, 2) \] Đáp án đúng là: B. $(0, 1, 2)$. Câu 10: Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\), ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \] Trong đó, \(\overrightarrow{u} = (-1; 3; 2)\) và \(\overrightarrow{v} = (-3; -1; 2)\). Ta thực hiện các phép nhân từng thành phần: \[ u_x v_x = (-1) \times (-3) = 3 \] \[ u_y v_y = 3 \times (-1) = -3 \] \[ u_z v_z = 2 \times 2 = 4 \] Sau đó, cộng các kết quả lại: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 + (-3) + 4 = 4 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là 4. Đáp án đúng là: \(C.~\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4\). Câu 11: Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1, -2, 3)$ và $\overrightarrow{b} = (7, -4, -5)$, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 7 + (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot (-5) = 7 + 8 - 15 = 0 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 16 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \] Bây giờ, ta thay vào công thức cosin: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{14} \cdot 3\sqrt{10}} = 0 \] Do đó, góc $\theta$ giữa hai vectơ là: \[ \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $90^\circ$. Đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~90^\circ} \] Câu 12: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u + 2\overrightarrow v$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của vectơ $2\overrightarrow v$: - Ta có $\overrightarrow v = (5; 7; -1)$. - Nhân mỗi thành phần của $\overrightarrow v$ với 2: \[ 2\overrightarrow v = 2 \cdot (5; 7; -1) = (2 \cdot 5; 2 \cdot 7; 2 \cdot (-1)) = (10; 14; -2) \] 2. Tính tổng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $2\overrightarrow v$: - Ta có $\overrightarrow u = (3; -4; 5)$ và $2\overrightarrow v = (10; 14; -2)$. - Cộng từng thành phần tương ứng của hai vectơ: \[ \overrightarrow u + 2\overrightarrow v = (3; -4; 5) + (10; 14; -2) = (3 + 10; -4 + 14; 5 + (-2)) = (13; 10; 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u + 2\overrightarrow v$ là $(13; 10; 3)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~(13; 10; 3). \] Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A'B'C'D'. 2. Xác định diện tích của các mặt của hình hộp. 3. Tính thể tích của hình hộp. Bước 1: Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm tọa độ của điểm C: - Điểm C nằm trên đường thẳng song song với AB và đi qua D. - Vector $\overrightarrow{AB} = (2 - 1, 1 - 0, 2 - 1) = (1, 1, 1)$. - Điểm C có tọa độ $(x, y, z)$ sao cho $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. - Do đó, $(x - 1, y + 1, z - 1) = (1, 1, 1)$. - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \end{cases} \] \[ \Rightarrow x = 2, y = 0, z = 2 \] - Vậy tọa độ của điểm C là $(2, 0, 2)$. Tìm tọa độ của điểm A': - Điểm A' nằm trên đường thẳng song song với DD' và đi qua A. - Vector $\overrightarrow{DD'} = (3 - 1, 4 + 1, -6 - 1) = (2, 5, -7)$. - Điểm A' có tọa độ $(x, y, z)$ sao cho $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{DD'}$. - Do đó, $(x - 1, y - 0, z - 1) = (2, 5, -7)$. - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 1 = 2 \\ y = 5 \\ z - 1 = -7 \end{cases} \] \[ \Rightarrow x = 3, y = 5, z = -6 \] - Vậy tọa độ của điểm A' là $(3, 5, -6)$. Tìm tọa độ của điểm B': - Điểm B' nằm trên đường thẳng song song với BB' và đi qua B. - Vector $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{DD'} = (2, 5, -7)$. - Điểm B' có tọa độ $(x, y, z)$ sao cho $\overrightarrow{BB'} = (2, 5, -7)$. - Do đó, $(x - 2, y - 1, z - 2) = (2, 5, -7)$. - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 2 = 2 \\ y - 1 = 5 \\ z - 2 = -7 \end{cases} \] \[ \Rightarrow x = 4, y = 6, z = -5 \] - Vậy tọa độ của điểm B' là $(4, 6, -5)$. Tìm tọa độ của điểm C': - Điểm C' nằm trên đường thẳng song song với CC' và đi qua C. - Vector $\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'} = (2, 5, -7)$. - Điểm C' có tọa độ $(x, y, z)$ sao cho $\overrightarrow{CC'} = (2, 5, -7)$. - Do đó, $(x - 2, y - 0, z - 2) = (2, 5, -7)$. - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 2 = 2 \\ y = 5 \\ z - 2 = -7 \end{cases} \] \[ \Rightarrow x = 4, y = 5, z = -5 \] - Vậy tọa độ của điểm C' là $(4, 5, -5)$. Bước 2: Xác định diện tích của các mặt của hình hộp. Diện tích mặt đáy ABCD: - Vector $\overrightarrow{AB} = (1, 1, 1)$. - Vector $\overrightarrow{AD} = (0, -1, 0)$. - Diện tích hình bình hành ABCD là: \[ S_{ABCD} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| \] \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1))\mathbf{i} - (1 \cdot 0 - 1 \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 0)\mathbf{k} = (1, 0, -1) \] \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \] Diện tích mặt bên ABB'A': - Vector $\overrightarrow{AB} = (1, 1, 1)$. - Vector $\overrightarrow{AA'} = (2, 5, -7)$. - Diện tích hình bình hành ABB'A' là: \[ S_{ABB'A'} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AA'}| \] \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AA'} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -7 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-7) - 1 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot (-7) - 1 \cdot 2)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 1 \cdot 2)\mathbf{k} = (-12, 9, 3) \] \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AA'}| = \sqrt{(-12)^2 + 9^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 81 + 9} = \sqrt{234} = 3\sqrt{26} \] Diện tích mặt bên ADD'A': - Vector $\overrightarrow{AD} = (0, -1, 0)$. - Vector $\overrightarrow{AA'} = (2, 5, -7)$. - Diện tích hình bình hành ADD'A' là: \[ S_{ADD'A'} = |\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AA'}| \] \[ \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AA'} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & -7 \end{vmatrix} = (0 \cdot (-7) - 0 \cdot 5)\mathbf{i} - (0 \cdot (-7) - 0 \cdot 2)\mathbf{j} + (0 \cdot 5 - (-1) \cdot 2)\mathbf{k} = (0, 0, 2) \] \[ |\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AA'}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = 2 \] Bước 3: Tính thể tích của hình hộp. Thể tích của hình hộp là: \[ V = S_{ABCD} \cdot h \] Trong đó, \(h\) là chiều cao của hình hộp, tức là khoảng cách giữa hai mặt đáy ABCD và A'B'C'D'. Ta có thể tính \(h\) bằng cách sử dụng vector pháp tuyến của mặt đáy ABCD và khoảng cách từ điểm A' đến mặt đáy ABCD. Vector pháp tuyến của mặt đáy ABCD là \(\overrightarrow{n} = (1, 0, -1)\). Khoảng cách từ điểm A' đến mặt đáy ABCD là: \[ d = \frac{|\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} \] \[ \overrightarrow{AA'} = (2, 5, -7) \] \[ \overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{n} = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + (-7) \cdot (-1) = 2 + 0 + 7 = 9 \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \] \[ d = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \] Thể tích của hình hộp là: \[ V = S_{ABCD} \cdot d = \sqrt{2} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{9 \cdot 2}{2} = 9 \] Vậy thể tích của hình hộp ABCD.A'B'C'D' là \(\boxed{9}\).