Giải hộ tớ với ạ

Câu 2: Để xác định điểm thuộc phẳng Oyz, ta cần kiểm tra tọa độ của các điểm đã cho. Một điểm thuộc phẳng Oyz nếu tọa độ x của nó bằng 0. A. $(0; -1; 0)$: Tọa độ x là 0, do đó điểm này thuộc phẳng Oyz. B. $(-2; 0; 0)$: Tọa độ x là -2, do đó điểm này không thuộc phẳng Oyz. C. $(0; -1; 3)$: Tọa độ x là 0, do đó điểm này thuộc phẳng Oyz. D. $(-2; -1; 0)$: Tọa độ x là -2, do đó điểm này không thuộc phẳng Oyz. Như vậy, các điểm thuộc phẳng Oyz là: - Điểm A: $(0; -1; 0)$ - Điểm C: $(0; -1; 3)$ Đáp án đúng là: A và C. Câu 3: Để tìm tọa độ của điểm H, hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (Oxy), ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu về hình chiếu vuông góc: - Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng là điểm nằm trên mặt phẳng đó sao cho đoạn thẳng nối điểm ban đầu với điểm hình chiếu vuông góc là đường vuông góc hạ từ điểm ban đầu xuống mặt phẳng. 2. Xác định tọa độ của điểm H: - Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là \( z = 0 \). - Điểm M có tọa độ \( M(1;2;3) \). 3. Tìm tọa độ của điểm H: - Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy), tọa độ của H sẽ có dạng \( (x_H, y_H, 0) \). - Do H nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ M xuống mặt phẳng (Oxy), tọa độ \( x_H \) và \( y_H \) sẽ giống với tọa độ \( x \) và \( y \) của M. Do đó, tọa độ của H là \( (1, 2, 0) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( H(1;2;0) \). Câu 4: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b$, ta thực hiện phép trừ từng thành phần tương ứng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$. Tọa độ của $\overrightarrow a$ là $(2; 3; 2)$ và tọa độ của $\overrightarrow b$ là $(1; 1; -1)$. Ta có: \[ \overrightarrow a - \overrightarrow b = (2 - 1; 3 - 1; 2 - (-1)) = (1; 2; 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b$ là $(1; 2; 3)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $(1; 2; 3)$. Câu 5: Để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1;1;1) \) lên mặt phẳng \( (Oxz) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của mặt phẳng \( (Oxz) \): Mặt phẳng \( (Oxz) \) có phương trình là \( y = 0 \). 2. Tìm đường thẳng đi qua điểm \( A \) và vuông góc với mặt phẳng \( (Oxz) \): Đường thẳng này sẽ song song với trục \( Oy \). Vì vậy, phương trình tham số của đường thẳng này có dạng: \[ \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + t \\ z = 1 \end{cases} \] trong đó \( t \) là tham số. 3. Tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng \( (Oxz) \): Thay phương trình tham số vào phương trình của mặt phẳng \( y = 0 \): \[ 1 + t = 0 \implies t = -1 \] 4. Tính tọa độ giao điểm: Thay \( t = -1 \) vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + (-1) = 0 \\ z = 1 \end{cases} \] Vậy tọa độ giao điểm là \( (1; 0; 1) \). Do đó, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1;1;1) \) lên mặt phẳng \( (Oxz) \) là \( (1; 0; 1) \). Đáp án đúng là: A. \( (1; 0; 1) \). Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$. Ta cần tìm tọa độ của $\overrightarrow{a}$. Tọa độ của $\overrightarrow{a}$ được xác định từ các thành phần của nó theo các đơn vị vectơ cơ bản $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, và $\overrightarrow{k}$. - Thành phần theo $\overrightarrow{i}$ là $-1$. - Thành phần theo $\overrightarrow{j}$ là $2$. - Thành phần theo $\overrightarrow{k}$ là $-3$. Do đó, tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là $(-1, 2, -3)$. Vậy đáp án đúng là: D. $(-1; 2; -3)$. Câu 7: Để tìm tọa độ của vector $\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tọa độ của $2\overrightarrow b$: \[ 2\overrightarrow b = 2 \cdot (-2; 1; 4) = (-4; 2; 8) \] Bước 2: Tính tọa độ của $\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b$: \[ \overrightarrow u = (1; 1; -2) - (-4; 2; 8) = (1 + 4; 1 - 2; -2 - 8) = (5; -1; -10) \] Vậy tọa độ của vector $\overrightarrow u$ là $(5; -1; -10)$. Đáp án đúng là: A. $(5; -1; -10)$. Câu 8: Hình chiếu vuông góc của điểm \( A(3; -1; 1) \) lên mặt phẳng \( (Oyz) \) là điểm có tọa độ \( (0; -1; 1) \). Lý do: - Mặt phẳng \( (Oyz) \) có phương trình là \( x = 0 \). - Khi hình chiếu vuông góc của điểm \( A \) lên mặt phẳng \( (Oyz) \), tọa độ \( x \) của điểm đó sẽ là 0, còn tọa độ \( y \) và \( z \) giữ nguyên. Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( A(3; -1; 1) \) lên mặt phẳng \( (Oyz) \) là điểm \( N(0; -1; 1) \). Đáp án đúng là: B. \( N(0; -1; 1) \). Câu 9: Để tìm tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm B từ tọa độ của điểm A. Tọa độ của điểm A là $(1, -1, 2)$. Tọa độ của điểm B là $(2, 1, -4)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \] Thay tọa độ của A và B vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 1 - (-1), -4 - 2) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1, 1 + 1, -4 - 2) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1, 2, -6) \] Vậy tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1, 2, -6)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $(1, 2, -6)$. Câu 10: Để tìm tọa độ của véctơ $(\overrightarrow u + 2\overrightarrow v)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của véctơ $2\overrightarrow v$: - Ta có $\overrightarrow v = (1; 3; 1)$. - Nhân véctơ $\overrightarrow v$ với 2: \[ 2\overrightarrow v = 2 \cdot (1; 3; 1) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 3; 2 \cdot 1) = (2; 6; 2) \] 2. Tính tổng của véctơ $\overrightarrow u$ và véctơ $2\overrightarrow v$: - Ta có $\overrightarrow u = (2; 1; -1)$ và $2\overrightarrow v = (2; 6; 2)$. - Cộng từng thành phần của hai véctơ: \[ \overrightarrow u + 2\overrightarrow v = (2; 1; -1) + (2; 6; 2) = (2 + 2; 1 + 6; -1 + 2) = (4; 7; 1) \] Vậy tọa độ của véctơ $(\overrightarrow u + 2\overrightarrow v)$ là $(4; 7; 1)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $(4; 7; 1)$. Câu 11: Để tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm \( A(2; -1; 0) \) qua điểm \( B(3; 1; 1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB: Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) là: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Thay tọa độ của \( A \) và \( B \): \[ M\left(\frac{2 + 3}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2}\right) = M\left(\frac{5}{2}, 0, \frac{1}{2}\right) \] 2. Tìm tọa độ điểm đối xứng của \( A \) qua \( B \): Gọi điểm đối xứng của \( A \) qua \( B \) là \( A'(x', y', z') \). Ta có: \[ B \text{ là trung điểm của đoạn thẳng } AA' \] Do đó: \[ B = M\left(\frac{x + x'}{2}, \frac{y + y'}{2}, \frac{z + z'}{2}\right) \] Thay tọa độ của \( B \) và \( A \): \[ (3, 1, 1) = \left(\frac{2 + x'}{2}, \frac{-1 + y'}{2}, \frac{0 + z'}{2}\right) \] Từ đây, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{2 + x'}{2} = 3 \\ \frac{-1 + y'}{2} = 1 \\ \frac{0 + z'}{2} = 1 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: \[ \begin{cases} 2 + x' = 6 \Rightarrow x' = 4 \\ -1 + y' = 2 \Rightarrow y' = 3 \\ z' = 2 \end{cases} \] Vậy tọa độ điểm đối xứng của \( A \) qua \( B \) là \( A'(4, 3, 2) \). Đáp án đúng là: C. \( (4; 3; 2) \) Câu 12: Trong không gian Oxyz, tọa độ của điểm M được xác định thông qua vector $\overrightarrow{OM}$. Vector này được cho là $2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$. - Vector $\overrightarrow{i}$ tương ứng với trục Ox, có tọa độ (1, 0, 0). - Vector $\overrightarrow{j}$ tương ứng với trục Oy, có tọa độ (0, 1, 0). Do đó, vector $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$ sẽ có tọa độ là: \[ (2 \cdot 1, 1 \cdot 1, 0) = (2, 1, 0) \] Từ đó, tọa độ của điểm M là $(2, 1, 0)$. Vậy đáp án đúng là: C. $M = (2, 1, 0)$. Câu 13: Để tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD, ta sử dụng tính chất của hình bình hành: hai vectơ đối diện bằng nhau. Tọa độ của các đỉnh: - \( A(3;1;2) \) - \( B(1;0;1) \) - \( C(2;3;0) \) Ta cần tìm tọa độ của đỉnh \( D(x;y;z) \). Theo tính chất của hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 3, 0 - 1, 1 - 2) = (-2, -1, -1) \] Tính vectơ \( \overrightarrow{DC} \): \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (2 - x, 3 - y, 0 - z) = (2 - x, 3 - y, -z) \] Do đó: \[ (-2, -1, -1) = (2 - x, 3 - y, -z) \] Bằng cách so sánh từng thành phần, ta có: \[ 2 - x = -2 \] \[ 3 - y = -1 \] \[ -z = -1 \] Giải các phương trình này: \[ 2 - x = -2 \Rightarrow x = 4 \] \[ 3 - y = -1 \Rightarrow y = 4 \] \[ -z = -1 \Rightarrow z = 1 \] Vậy tọa độ của đỉnh \( D \) là \( (4; 4; 1) \). Đáp án đúng là: C. \( D(4;4;1) \) Câu 14: Để tìm tọa độ điểm B sao cho $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của $\overrightarrow{AB}$: - Ta biết rằng $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} = (-3; 2; 1)$. 2. Xác định tọa độ của điểm B: - Gọi tọa độ của điểm B là $(x; y; z)$. - Vector $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là $(x - 4; y - 6; z + 3)$. 3. Bằng cách so sánh tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ với tọa độ của $\overrightarrow{a}$, ta có: - $x - 4 = -3$ - $y - 6 = 2$ - $z + 3 = 1$ 4. Giải các phương trình này để tìm tọa độ của điểm B: - Từ $x - 4 = -3$, ta có $x = -3 + 4 = 1$. - Từ $y - 6 = 2$, ta có $y = 2 + 6 = 8$. - Từ $z + 3 = 1$, ta có $z = 1 - 3 = -2$. Vậy tọa độ của điểm B là $(1; 8; -2)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $(1; 8; -2)$.