Giúp mình với!

Câu 4: a) Parabol (P) có bề lõm quay lên: - Phương trình của parabol (P) là \( y = x^2 + 4x + 1 \). - Hệ số của \( x^2 \) là 1, lớn hơn 0, do đó bề lõm của parabol (P) quay lên. - Đáp án đúng. b) Điểm \( A(0; -3) \) thuộc parabol (P): - Thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình của parabol (P): \[ y = 0^2 + 4 \cdot 0 + 1 = 1 \] - Kết quả là \( y = 1 \), không bằng \( -3 \), do đó điểm \( A(0; -3) \) không thuộc parabol (P). - Đáp án sai. c) Parabol (P) và đường thẳng (\(\Delta\)) cắt nhau tại hai điểm \( M(0; 1) \) và \( N(-2; 3) \): - Thay tọa độ của điểm \( M(0; 1) \) vào phương trình của đường thẳng (\(\Delta\)): \[ y = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \] - Kết quả là \( y = 1 \), đúng, do đó điểm \( M(0; 1) \) thuộc đường thẳng (\(\Delta\)). - Thay tọa độ của điểm \( M(0; 1) \) vào phương trình của parabol (P): \[ y = 0^2 + 4 \cdot 0 + 1 = 1 \] - Kết quả là \( y = 1 \), đúng, do đó điểm \( M(0; 1) \) thuộc parabol (P). - Thay tọa độ của điểm \( N(-2; 3) \) vào phương trình của đường thẳng (\(\Delta\)): \[ y = 2 \cdot (-2) + 1 = -4 + 1 = -3 \] - Kết quả là \( y = -3 \), không bằng 3, do đó điểm \( N(-2; 3) \) không thuộc đường thẳng (\(\Delta\)). - Do đó, điểm \( N(-2; 3) \) không thuộc cả parabol (P) và đường thẳng (\(\Delta\)). - Đáp án sai. d) Diện tích tam giác AMN bằng 4: - Ta đã biết điểm \( M(0; 1) \) thuộc cả parabol (P) và đường thẳng (\(\Delta\)), nhưng điểm \( N(-2; 3) \) không thuộc cả hai. - Do đó, không thể tính diện tích tam giác AMN vì điểm \( N \) không tồn tại trong cả hai đồ thị. - Đáp án sai. Kết luận: - Đáp án đúng là a) Parabol (P) có bề lõm quay lên. Câu 1: Để tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác ABC: - Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc giữa chúng: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2}bc \sin A \] - Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 60^\circ \] - Biết rằng $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta có: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \] 2. Tính chu vi tam giác ABC: - Ta cần biết độ dài cạnh thứ ba (cạnh a). Ta sử dụng định lý余弦来计算边长 \(a\)： \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] - 代入已知值： \[ a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \times \cos 60^\circ \] - 知道 \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)，我们有： \[ a^2 = 64 + 25 - 2 \times 8 \times 5 \times \frac{1}{2} = 64 + 25 - 40 = 49 \] - 因此： \[ a = \sqrt{49} = 7 \] 3. 计算周长： \[ P_{ABC} = a + b + c = 7 + 8 + 5 = 20 \] 4. 计算内切圆半径： - 使用公式 \(r = \frac{2S}{P}\)： \[ r = \frac{2 \times 10\sqrt{3}}{20} = \frac{20\sqrt{3}}{20} = \sqrt{3} \] - 将结果四舍五入到小数点后两位： \[ r \approx 1.73 \] 因此，三角形ABC的内切圆半径约为1.73。 Câu 2: Trước tiên, ta cần xác định các vectơ liên quan đến các điểm trong hình chữ nhật ABCD. - Gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh CD. - Ta có $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}$, $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}$, $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}$. Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là: \[ T = |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| \] Ta sẽ viết lại các vectơ theo các đỉnh của hình chữ nhật: - $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}$ - $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}$ - $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}$ Do đó: \[ \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + 2(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) + 3(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}) \] \[ = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M} + 2\overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{M} + 3\overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{M} \] \[ = \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} + 3\overrightarrow{C} - 6\overrightarrow{M} \] Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của: \[ T = |\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} + 3\overrightarrow{C} - 6\overrightarrow{M}| \] Gọi $\overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} + 3\overrightarrow{C}$, ta có: \[ T = |\overrightarrow{P} - 6\overrightarrow{M}| \] Để giá trị này nhỏ nhất, $\overrightarrow{M}$ phải nằm trên đường thẳng đi qua $\overrightarrow{P}$ và vuông góc với đường thẳng này. Ta tính $\overrightarrow{P}$: - $\overrightarrow{A} = (0, 0)$ - $\overrightarrow{B} = (12, 0)$ - $\overrightarrow{C} = (12, 4)$ Do đó: \[ \overrightarrow{P} = (0, 0) + 2(12, 0) + 3(12, 4) \] \[ = (0, 0) + (24, 0) + (36, 12) \] \[ = (60, 12) \] Giá trị nhỏ nhất của $T$ xảy ra khi $\overrightarrow{M}$ nằm trên đường thẳng đi qua $(60, 12)$ và vuông góc với đường thẳng này. Khi đó, ta có: \[ T_{min} = 0 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T$ là: \[ \boxed{0} \] Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để dễ dàng hơn trong việc xác định số học sinh thích mỗi môn học. 1. Tổng số học sinh: 45 học sinh. 2. Số học sinh không thích môn nào: 6 học sinh. 3. Số học sinh còn lại: 45 - 6 = 39 học sinh. 4. Số học sinh thích môn Văn: 25 học sinh. 5. Số học sinh thích môn Toán: 20 học sinh. 6. Số học sinh thích môn Sử: 18 học sinh. 7. Số học sinh thích cả ba môn: 5 học sinh. Bây giờ, chúng ta sẽ tính số học sinh thích ít nhất một môn học: - Số học sinh thích ít nhất một môn học: 39 học sinh. Tiếp theo, chúng ta sẽ tính số học sinh thích hai môn học: - Số học sinh thích Văn và Toán nhưng không thích Sử: \(x_1\) - Số học sinh thích Văn và Sử nhưng không thích Toán: \(x_2\) - Số học sinh thích Toán và Sử nhưng không thích Văn: \(x_3\) Ta có phương trình tổng số học sinh thích ít nhất một môn học: \[ 25 + 20 + 18 - (x_1 + x_2 + x_3 + 2 \times 5) = 39 \] Giải phương trình: \[ 63 - (x_1 + x_2 + x_3 + 10) = 39 \] \[ 63 - 10 - 39 = x_1 + x_2 + x_3 \] \[ 14 = x_1 + x_2 + x_3 \] Vậy số học sinh thích hai môn học là 14 học sinh. Cuối cùng, chúng ta sẽ tính số học sinh thích chỉ một môn học: - Số học sinh thích chỉ Văn: \(25 - (x_1 + x_2 + 5)\) - Số học sinh thích chỉ Toán: \(20 - (x_1 + x_3 + 5)\) - Số học sinh thích chỉ Sử: \(18 - (x_2 + x_3 + 5)\) Tổng số học sinh thích chỉ một môn học: \[ (25 - (x_1 + x_2 + 5)) + (20 - (x_1 + x_3 + 5)) + (18 - (x_2 + x_3 + 5)) \] \[ = 25 - x_1 - x_2 - 5 + 20 - x_1 - x_3 - 5 + 18 - x_2 - x_3 - 5 \] \[ = 25 + 20 + 18 - 5 - 5 - 5 - 2(x_1 + x_2 + x_3) \] \[ = 63 - 15 - 2 \times 14 \] \[ = 63 - 15 - 28 \] \[ = 20 \] Vậy số học sinh thích chỉ một môn trong ba môn trên là 20 học sinh. Câu 4: Trước tiên, ta tính quãng đường mỗi xe đã đi trong 3 giờ. Quãng đường xe thứ nhất đi được: \[ s_1 = v_1 \times t = 30 \, \text{km/h} \times 3 \, \text{h} = 90 \, \text{km} \] Quãng đường xe thứ hai đi được: \[ s_2 = v_2 \times t = 40 \, \text{km/h} \times 3 \, \text{h} = 120 \, \text{km} \] Bây giờ, ta sẽ sử dụng định lý余弦定理来计算两车之间的距离。设两车之间的距离为 \(d\)，则有： \[ d^2 = s_1^2 + s_2^2 - 2 \cdot s_1 \cdot s_2 \cdot \cos(45^\circ) \] 代入已知数值： \[ d^2 = 90^2 + 120^2 - 2 \cdot 90 \cdot 120 \cdot \cos(45^\circ) \] \[ d^2 = 8100 + 14400 - 2 \cdot 90 \cdot 120 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ d^2 = 8100 + 14400 - 10800 \cdot \sqrt{2} \] \[ d^2 = 22500 - 10800 \cdot 1.414 \] \[ d^2 = 22500 - 15271.2 \] \[ d^2 = 7228.8 \] \[ d = \sqrt{7228.8} \approx 85.0 \, \text{km} \] 因此，两车之间的距离约为85.0公里。 答案：85.0 km Câu 5: Để tính khoảng cách giữa hai ghe thuyền, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác và tỉ lệ trong hình học. 1. Xác định các góc và cạnh trong tam giác: - Gọi khoảng cách từ điểm K đến điểm I là \( d \). - Gọi khoảng cách từ điểm K đến ghe A là \( KA \). - Gọi khoảng cách từ điểm K đến ghe B là \( KB \). - Gọi khoảng cách từ điểm I đến ghe A là \( IA \). - Gọi khoảng cách từ điểm I đến ghe B là \( IB \). 2. Áp dụng định lý sin trong tam giác: - Trong tam giác \( KIA \): \[ \frac{KA}{\sin(60^\circ)} = \frac{d}{\sin(50^\circ)} \] Suy ra: \[ KA = d \cdot \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(50^\circ)} \] - Trong tam giác \( KIB \): \[ \frac{KB}{\sin(60^\circ)} = \frac{d}{\sin(65^\circ)} \] Suy ra: \[ KB = d \cdot \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(65^\circ)} \] 3. Tính khoảng cách giữa hai ghe thuyền: - Khoảng cách giữa hai ghe thuyền là \( AB \). - Trong tam giác \( IAB \): \[ AB = IA + IB \] Ta biết rằng: \[ IA = d \cdot \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(50^\circ)} \] \[ IB = d \cdot \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(65^\circ)} \] Do đó: \[ AB = d \left( \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(50^\circ)} + \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(65^\circ)} \right) \] 4. Thay các giá trị cụ thể: - Biết rằng \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin(50^\circ) \approx 0.766 \), \( \sin(65^\circ) \approx 0.906 \). - Thay vào công thức: \[ AB = d \left( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.766} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.906} \right) \] \[ AB = d \left( \frac{\sqrt{3}}{2 \times 0.766} + \frac{\sqrt{3}}{2 \times 0.906} \right) \] \[ AB = d \left( \frac{\sqrt{3}}{1.532} + \frac{\sqrt{3}}{1.812} \right) \] \[ AB = d \left( 0.848 + 0.717 \right) \] \[ AB = d \times 1.565 \] 5. Kết luận: - Nếu biết khoảng cách \( d \) từ điểm K đến điểm I, ta có thể tính khoảng cách giữa hai ghe thuyền là: \[ AB = d \times 1.565 \] Vậy khoảng cách giữa hai ghe thuyền là \( d \times 1.565 \) mét, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. Câu 6: Để tìm độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định độ lớn của lực $\overrightarrow{F_1}$: - Ta biết rằng độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$ lớn gấp đôi độ lớn của lực $\overrightarrow{F_1}$. Gọi độ lớn của lực $\overrightarrow{F_1}$ là $F_1$, thì độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$ sẽ là $2F_1$. 2. Xác định độ lớn của lực $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_4}$: - Theo đề bài, độ lớn của lực $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_4}$ đều bằng 20 N. 3. Phân tích thành phần của lực $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_4}$: - Vì cả hai lực $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_4}$ đều tạo với lực $\overrightarrow{F_1}$ góc $45^\circ$, ta có thể phân tích thành phần của chúng theo phương của $\overrightarrow{F_1}$ và phương vuông góc với $\overrightarrow{F_1}$. - Thành phần của lực $\overrightarrow{F_3}$ theo phương của $\overrightarrow{F_1}$ là: \[ F_{3x} = 20 \cos(45^\circ) = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \text{ N} \] - Thành phần của lực $\overrightarrow{F_4}$ theo phương của $\overrightarrow{F_1}$ cũng là: \[ F_{4x} = 20 \cos(45^\circ) = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \text{ N} \] 4. Tổng hợp các lực theo phương của $\overrightarrow{F_1}$: - Tổng thành phần của lực $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_4}$ theo phương của $\overrightarrow{F_1}$ là: \[ F_x = F_{3x} + F_{4x} = 10\sqrt{2} + 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \text{ N} \] 5. Điều kiện dừng của vật: - Để vật dừng lại, tổng các lực tác dụng lên vật phải bằng không. Do đó, tổng các lực theo phương của $\overrightarrow{F_1}$ phải bằng độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$: \[ F_1 + 20\sqrt{2} = 2F_1 \] - Giải phương trình này để tìm $F_1$: \[ 20\sqrt{2} = 2F_1 - F_1 \] \[ 20\sqrt{2} = F_1 \] \[ F_1 = 20\sqrt{2} \approx 28.28 \text{ N} \] 6. Tìm độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$: - Độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$ là: \[ F_2 = 2F_1 = 2 \times 28.28 \approx 56.56 \text{ N} \] Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$ là khoảng 56.6 N.