Mn làm cho e xin đáp án check vs

Bài 9. Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 2 \), ta cần đảm bảo rằng: \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2). \] Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 từ bên phải (\( x > 2 \)): \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^3 - 8}{2x^2 - x - 6}. \] Ta thấy rằng \( x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \) và \( 2x^2 - x - 6 = (x - 2)(2x + 3) \). Do đó: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{x^3 - 8}{2x^2 - x - 6} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(2x + 3)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 + 2x + 4}{2x + 3}. \] Thay \( x = 2 \) vào biểu thức trên: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 + 2x + 4}{2x + 3} = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 + 4}{2 \cdot 2 + 3} = \frac{4 + 4 + 4}{4 + 3} = \frac{12}{7}. \] Tiếp theo, ta tính giá trị của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 từ bên trái (\( x \leq 2 \)): \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = m \cdot 2 + 10 = 2m + 10. \] Để hàm số liên tục tại \( x = 2 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x). \] Do đó: \[ \frac{12}{7} = 2m + 10. \] Giải phương trình này để tìm \( m \): \[ 2m + 10 = \frac{12}{7}, \] \[ 2m = \frac{12}{7} - 10, \] \[ 2m = \frac{12}{7} - \frac{70}{7}, \] \[ 2m = \frac{12 - 70}{7}, \] \[ 2m = \frac{-58}{7}, \] \[ m = \frac{-58}{14}, \] \[ m = \frac{-29}{7}. \] Vậy giá trị của \( m \) để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 2 \) là: \[ m = \frac{-29}{7}. \] Bài 10. Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \), ta cần đảm bảo rằng: 1. \( f(1) \) tồn tại. 2. Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái và bên phải đều tồn tại và bằng nhau. Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái (\( x < 1 \)): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x^3 + x - 3}{x^3 - 1}. \] Ta thấy rằng khi \( x \to 1 \), cả tử và mẫu đều tiến đến 0, do đó ta có dạng bất định \(\frac{0}{0}\). Ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích đa thức để đơn giản hóa biểu thức này. Phân tích mẫu số: \[ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1). \] Phân tích tử số: \[ 2x^3 + x - 3 = 2(x^3 - 1) + x + 2 = 2(x - 1)(x^2 + x + 1) + x + 2. \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{2x^3 + x - 3}{x^3 - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2(x - 1)(x^2 + x + 1) + x + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to 1^-} \left( 2 + \frac{x + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \right). \] Khi \( x \to 1 \), phân số \(\frac{x + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\) tiến đến 0, do đó: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2. \] Tiếp theo, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ bên phải (\( x \geq 1 \)): \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(m^2 - 1)x^2 + 4}{x + 2}. \] Thay \( x = 1 \) vào biểu thức: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{(m^2 - 1) \cdot 1^2 + 4}{1 + 2} = \frac{m^2 - 1 + 4}{3} = \frac{m^2 + 3}{3}. \] Để hàm số liên tục tại \( x = 1 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1). \] Do đó: \[ 2 = \frac{m^2 + 3}{3}. \] Giải phương trình này: \[ 2 = \frac{m^2 + 3}{3}, \] \[ 6 = m^2 + 3, \] \[ m^2 = 3, \] \[ m = \pm \sqrt{3}. \] Vậy, giá trị của \( m \) để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 1 \) là: \[ m = \sqrt{3} \text{ hoặc } m = -\sqrt{3}. \]