555555555555

Câu 1: Để tìm điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{x(x^3+4)} = \frac{x+1}{x} - \frac{1}{x-2}$, chúng ta cần đảm bảo rằng các mẫu số của các phân thức đều khác 0. 1. Mẫu số đầu tiên là $x(x^3 + 4)$. Để mẫu số này khác 0, ta cần: - $x \neq 0$ - $x^3 + 4 \neq 0 \Rightarrow x^3 \neq -4 \Rightarrow x \neq -\sqrt[3]{4}$ 2. Mẫu số thứ hai là $x$. Để mẫu số này khác 0, ta cần: - $x \neq 0$ 3. Mẫu số thứ ba là $x - 2$. Để mẫu số này khác 0, ta cần: - $x \neq 2$ Tóm lại, điều kiện xác định của phương trình là: \[ x \neq 0, \quad x \neq 2, \quad x \neq -\sqrt[3]{4} \] Do đó, đáp án đúng là: D. $x \neq 0$ và $x \neq 2$ Câu 2: Để kiểm tra cặp số (4;2) có là nghiệm của hệ phương trình nào trong các lựa chọn đã cho hay không, ta thay \( x = 4 \) và \( y = 2 \) vào từng phương trình của mỗi hệ và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn tất cả các phương trình trong hệ đó hay không. A. $\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\x-5y=4\end{array}\right.$ - Thay \( x = 4 \) và \( y = 2 \) vào phương trình đầu tiên: \[ 4 - 2 = 2 \quad \text{(thỏa mãn)} \] - Thay \( x = 4 \) và \( y = 2 \) vào phương trình thứ hai: \[ 4 - 5 \times 2 = 4 - 10 = -6 \quad \text{(không thỏa mãn)} \] B. $\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\3x+2y=5\end{array}\right.$ - Thay \( x = 4 \) và \( y = 2 \) vào phương trình đầu tiên: \[ 4 - 2 = 2 \quad \text{(thỏa mãn)} \] - Thay \( x = 4 \) và \( y = 2 \) vào phương trình thứ hai: \[ 3 \times 4 + 2 \times 2 = 12 + 4 = 16 \quad \text{(không thỏa mãn)} \] C. $\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\2x-5y=8\end{array}\right.$ - Thay \( x = 4 \) và \( y = 2 \) vào phương trình đầu tiên: \[ 4 + 2 = 6 \quad \text{(thỏa mãn)} \] - Thay \( x = 4 \) và \( y = 2 \) vào phương trình thứ hai: \[ 2 \times 4 - 5 \times 2 = 8 - 10 = -2 \quad \text{(không thỏa mãn)} \] D. $\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\x-y=2\end{array}\right.$ - Thay \( x = 4 \) và \( y = 2 \) vào phương trình đầu tiên: \[ 4 + 2 = 6 \quad \text{(thỏa mãn)} \] - Thay \( x = 4 \) và \( y = 2 \) vào phương trình thứ hai: \[ 4 - 2 = 2 \quad \text{(thỏa mãn)} \] Như vậy, cặp số (4;2) là nghiệm của hệ phương trình D. Đáp án đúng là: D. $\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\x-y=2\end{array}\right.$ Câu 3: Để thu gọn biểu thức $\sqrt[3]{125a^3}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định căn bậc ba của 125 và $a^3$. - Ta biết rằng $125 = 5^3$, do đó $\sqrt[3]{125} = 5$. - Ta cũng biết rằng $\sqrt[3]{a^3} = a$. Bước 2: Kết hợp các kết quả trên để thu gọn biểu thức. - $\sqrt[3]{125a^3} = \sqrt[3]{125} \times \sqrt[3]{a^3} = 5 \times a = 5a$. Vậy, thu gọn $\sqrt[3]{125a^3}$ ta được $5a$. Đáp án đúng là: C. $5a$. Câu 4: Để giải bất phương trình $\frac{2x-3}{3} \leq \frac{3x-2}{4}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân cả hai vế của bất phương trình với 12 để loại bỏ mẫu số: \[ 12 \cdot \frac{2x-3}{3} \leq 12 \cdot \frac{3x-2}{4} \] Bước 2: Thực hiện phép nhân: \[ 4(2x - 3) \leq 3(3x - 2) \] Bước 3: Mở ngoặc và thu gọn: \[ 8x - 12 \leq 9x - 6 \] Bước 4: Chuyển các hạng tử liên quan đến x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 8x - 9x \leq -6 + 12 \] \[ -x \leq 6 \] Bước 5: Nhân cả hai vế với -1 và đổi dấu bất phương trình: \[ x \geq -6 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x \geq -6 \] Đáp án đúng là: B. $x \geq -6$. Câu 5: Để tìm giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình \(\sqrt{8-4x}=2\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Bước 1: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (\sqrt{8-4x})^2 = 2^2 \] \[ 8 - 4x = 4 \] 2. Bước 2: Giải phương trình \(8 - 4x = 4\): \[ 8 - 4 = 4x \] \[ 4 = 4x \] \[ x = 1 \] 3. Bước 3: Kiểm tra lại giá trị \( x = 1 \) vào phương trình ban đầu: \[ \sqrt{8 - 4 \cdot 1} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2 \] Kết quả đúng, do đó \( x = 1 \) là nghiệm của phương trình. Vậy giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình là \( x = 1 \). Đáp án đúng là: C. \( x = 1 \). Câu 6: Để tính độ dài cung tròn của một góc tâm $60^\circ$ trên đường tròn có đường kính 6 dm, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính bán kính của đường tròn. - Đường kính của đường tròn là 6 dm, do đó bán kính là: \[ r = \frac{6}{2} = 3 \text{ dm} \] Bước 2: Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn. - Công thức tính độ dài cung tròn là: \[ l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \] Trong đó, $\theta$ là góc tâm (ở đây là $60^\circ$), $r$ là bán kính. Bước 3: Thay các giá trị vào công thức. \[ l = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 3 \] \[ l = \frac{1}{6} \times 2\pi \times 3 \] \[ l = \frac{1}{6} \times 6\pi \] \[ l = \pi \text{ dm} \] Vậy độ dài cung tròn $60^\circ$ của một đường tròn có đường kính 6 dm là $\pi$ dm. Đáp án đúng là: C. $\pi$ dm. Câu 7: Trước tiên, ta cần xác định các góc của tam giác ABC. Vì tam giác ABC vuông tại A và góc C là 60°, nên góc B sẽ là 30° (vì tổng các góc trong tam giác là 180°). Bây giờ, ta sẽ sử dụng các tỉ số lượng giác để tìm độ dài các cạnh còn lại. 1. Tìm độ dài cạnh AB: - Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc 30° là: sin(30°) = \frac{1}{2}, cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}. - Ta có: tan(C) = \frac{AB}{AC}. - Thay các giá trị vào: tan(60°) = \sqrt{3} = \frac{AB}{8}. - Từ đó suy ra: AB = 8 \sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} cm. 2. Tìm độ dài cạnh BC: - Ta sử dụng công thức Pythagoras: BC² = AB² + AC². - Thay các giá trị vào: BC² = (\frac{8\sqrt{3}}{3})² + 8². - Tính toán: BC² = \frac{643}{9} + 64 = \frac{192}{9} + 64 = \frac{192}{9} + \frac{576}{9} = \frac{768}{9}. - Từ đó suy ra: BC = \sqrt{\frac{768}{9}} = \frac{\sqrt{768}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} cm. Vậy độ dài hai cạnh còn lại là: AB = \frac{8\sqrt{3}}{3} cm, BC = \frac{16\sqrt{3}}{3} cm. Đáp án đúng là: B. $AB=\frac{8\sqrt{3}}{3}~cm,~BC=\frac{16\sqrt{3}}{3}~cm$. Câu 8: Để đường thẳng d và đường tròn (O; 3cm) có điểm chung, khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d (OA) phải thỏa mãn điều kiện sau: - Nếu OA < 3 cm, đường thẳng d sẽ cắt đường tròn tại hai điểm. - Nếu OA = 3 cm, đường thẳng d sẽ tiếp xúc với đường tròn tại một điểm. - Nếu OA > 3 cm, đường thẳng d sẽ không cắt hoặc tiếp xúc với đường tròn. Do đó, để đường thẳng d và đường tròn (O; 3cm) có điểm chung, khoảng cách OA phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính của đường tròn, tức là: \[ OA \leq 3 \text{ cm} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( OA \leq 3 \text{ cm} \) Câu 9: a) Với $x=\sqrt{34}$, ta thay vào biểu thức $A$: \[ A = \sqrt{\sqrt{34} - 3} \cdot \sqrt{\sqrt{34} + 3} \] Ta thấy $\sqrt{34} - 3$ và $\sqrt{34} + 3$ đều lớn hơn 0, nên ta có thể biến đổi như sau: \[ A = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 3^2} = \sqrt{34 - 9} = \sqrt{25} = 5 \] Vậy biểu thức $A$ có giá trị bằng 5 khi $x = \sqrt{34}$. b) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là: \[ x - 3 \geq 0 \quad \text{và} \quad x + 3 \geq 0 \] Từ $x - 3 \geq 0$, ta có $x \geq 3$. Từ $x + 3 \geq 0$, ta có $x \geq -3$. Vì $x \geq 3$ đã bao gồm $x \geq -3$, nên điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \geq 3$. c) Khi biểu thức $A = 4$, ta có: \[ \sqrt{x^2 - 9} = 4 \] Bình phương cả hai vế, ta được: \[ x^2 - 9 = 16 \] \[ x^2 = 25 \] \[ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = -5 \] Vì $x \geq 3$, nên ta chỉ lấy giá trị $x = 5$. Vậy khi biểu thức $A = 4$, giá trị của $x$ là 5. d) Biến đổi biểu thức ta được: \[ A = \sqrt{x - 3} \cdot \sqrt{x + 3} = \sqrt{(x - 3)(x + 3)} = \sqrt{x^2 - 9} \] Điều kiện xác định của biểu thức này là $x \geq 3$. Đáp số: a) Biểu thức $A$ có giá trị bằng 5 khi $x = \sqrt{34}$. b) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \geq 3$. c) Khi biểu thức $A = 4$, giá trị của $x$ là 5. d) Biến đổi biểu thức ta được $A = \sqrt{x^2 - 9}$ với $x \geq 3$. Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về góc nội tiếp và góc tâm trong hình tròn. 1. Xác định góc tâm: Số đo cung AB bằng $60^0$, do đó góc tâm tương ứng với cung AB cũng là $60^0$. Gọi góc tâm này là $\widehat{AOB}$, với O là tâm của đường tròn. 2. Xác định góc nội tiếp: Góc nội tiếp $\widehat{ACB}$ nhìn cung AB, và theo tính chất của góc nội tiếp, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung nó nhìn thấy. Do đó: \[ \widehat{ACB} = \frac{1}{2} \times 60^0 = 30^0 \] 3. Xác định góc ở đỉnh C: Trong tam giác ABC, tổng các góc nội tiếp của một tam giác bằng $180^0$. Do đó: \[ \widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^0 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \widehat{CAB} + 70^0 + 30^0 = 180^0 \] Giải phương trình này để tìm $\widehat{CAB}$: \[ \widehat{CAB} = 180^0 - 70^0 - 30^0 = 80^0 \] Vậy, góc $\widehat{CAB}$ là $80^0$.