vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định tập hợp các điểm I sao cho đường tròn (I; R) tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy. 1. Xác định điều kiện tiếp xúc: - Đường tròn (I; R) tiếp xúc với Ox và Oy, tức là khoảng cách từ tâm I đến các đường thẳng Ox và Oy đều bằng bán kính R. 2. Tìm tập hợp điểm I: - Vì đường tròn tiếp xúc với cả hai cạnh Ox và Oy, tâm I phải nằm trên tia phân giác của góc xOy. Điều này đảm bảo rằng khoảng cách từ I đến Ox và Oy là bằng nhau và bằng R. 3. Loại trừ điểm O: - Điểm O là đỉnh của góc xOy, nếu tâm I trùng với O thì đường tròn sẽ không tiếp xúc với Ox và Oy mà sẽ nằm hoàn toàn trong góc xOy. Do đó, điểm O không thuộc tập hợp điểm I. Vậy tập hợp điểm I là tia phân giác của góc xOy trừ đi điểm O. Đáp án đúng là: D. tia phân giác của xOy trừ điểm O. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần biết rằng đường thẳng tiếp xúc với đường tròn sẽ vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. - Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;7 cm) tại điểm A. - Điều này có nghĩa là OA là bán kính của đường tròn và OA vuông góc với đường thẳng a tại điểm A. Vì vậy, độ dài OA chính là bán kính của đường tròn. Độ dài OA = 7 cm. Do đó, đáp án đúng là: C. 7 cm. Câu 2. Để giải bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về tiếp tuyến và bán kính của đường tròn. - Khi đường thẳng a và b tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại điểm B, ta biết rằng đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất và bán kính vẽ từ tâm của đường tròn đến điểm tiếp xúc vuông góc với đường thẳng tiếp tuyến. - Trong trường hợp này, OB là bán kính của đường tròn và cũng là khoảng cách từ tâm O đến điểm tiếp xúc B. Do đó, R (bán kính của đường tròn) bằng OB. Ta có: \[ OB = 12 \text{ cm} \] Vậy: \[ R = 12 \text{ cm} \] Đáp án đúng là: D. 12 cm. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về đường thẳng tiếp xúc với đường tròn. - Khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng đó bằng bán kính của đường tròn. Trong bài toán này: - Đường thẳng \(a\) tiếp xúc với đường tròn \((O; R)\) tại điểm \(A\). Do đó, khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(a\) là \(R\). Điều này có nghĩa là \(OA = R\). - Đường thẳng \(b\) tiếp xúc với đường tròn \((O; R)\) tại điểm \(B\). Do đó, khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(b\) là \(R\). Điều này có nghĩa là \(OB = R\). Vậy tổng \(OA + OB\) sẽ là: \[ OA + OB = R + R = 2R \] Do đó, đáp án đúng là: B. 2R. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng đường thẳng a tiếp xúc với cả hai đường tròn tại điểm A và B. Điều này có nghĩa là OA và IB sẽ là các bán kính của các đường tròn tương ứng. - OA là bán kính của đường tròn (O; 6 cm), do đó OA = 6 cm. - IB là bán kính của đường tròn (I; 7 cm), do đó IB = 7 cm. Vậy tổng OA + IB sẽ là: \[ OA + IB = 6 \text{ cm} + 7 \text{ cm} = 13 \text{ cm} \] Do đó, đáp án đúng là: A. 13 cm. Câu 5. Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tam giác vuông. Bước 1: Xác định các yếu tố đã biết và cần tìm. - Đường tròn (O; 5 cm) có bán kính R = 5 cm. - Điểm A cách tâm O một khoảng OA = 13 cm. - Cần tìm độ dài đoạn thẳng AB, với B là tiếp điểm của tiếp tuyến AB. Bước 2: Áp dụng tính chất của tiếp tuyến. - Theo tính chất của tiếp tuyến, đoạn thẳng từ điểm ngoài tâm đến tiếp điểm vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Do đó, tam giác OAB là tam giác vuông tại B. Bước 3: Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OAB. - Trong tam giác vuông OAB, ta có: \[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ 13^2 = 5^2 + AB^2 \] \[ 169 = 25 + AB^2 \] \[ AB^2 = 169 - 25 \] \[ AB^2 = 144 \] \[ AB = \sqrt{144} \] \[ AB = 12 \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là 12 cm. Đáp án đúng là: B. 12 cm. Câu 6. Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tam giác vuông. Bước 1: Xác định các yếu tố đã biết và chưa biết. - Điểm A cách tâm O của đường tròn một khoảng 10 cm. - Độ dài đoạn thẳng AB (tiếp tuyến từ A đến tiếp điểm B) là 8 cm. - Ta cần tìm bán kính R của đường tròn. Bước 2: Áp dụng tính chất của tiếp tuyến. - Tiếp tuyến vẽ từ một điểm ngoài đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Do đó, tam giác OAB là tam giác vuông tại B. Bước 3: Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OAB. - Theo định lý Pythagoras, ta có: \[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ 10^2 = R^2 + 8^2 \] \[ 100 = R^2 + 64 \] Bước 4: Giải phương trình để tìm R. \[ R^2 = 100 - 64 \] \[ R^2 = 36 \] \[ R = \sqrt{36} \] \[ R = 6 \text{ cm} \] Vậy đáp án đúng là C. 6 cm. Đáp số: C. 6 cm. Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã biết: - Đường tròn (O; 12 cm) có bán kính R = 12 cm. - Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm M. - Trên đường thẳng d lấy hai điểm A và B sao cho MA = MB. - AB = 18 cm. 2. Vẽ hình và phân tích: - Vì d là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại M, nên OM vuông góc với d. - Tam giác OMA và OMB là các tam giác vuông tại M. - Vì MA = MB, nên tam giác OMA và OMB là các tam giác cân tại O. 3. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OMA: - Ta có: \( OA^2 = OM^2 + MA^2 \) - Biết OM = 12 cm (bán kính đường tròn), ta cần tìm MA. 4. Tìm MA: - Vì MA = MB và AB = 18 cm, nên MA = MB = 9 cm (vì AB chia đều cho 2). 5. Tính OA: - \( OA^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \) - \( OA = \sqrt{225} = 15 \) cm. 6. Tính chu vi tam giác OAB: - Chu vi tam giác OAB = OA + OB + AB - Vì OA = OB = 15 cm và AB = 18 cm, nên chu vi tam giác OAB = 15 + 15 + 18 = 48 cm. Vậy, đáp án đúng là D. 48 cm. Đáp số: 48 cm. Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã cho: - Đường tròn (O; 10 cm) có bán kính R = 10 cm. - Góc $\angle AOB = 90^\circ$. - Tia phân giác của góc $\angle AOB$ cắt đường tròn tại điểm I. - Tiếp tuyến qua điểm I cắt tia OA và OB lần lượt tại C và D. 2. Xác định vị trí của điểm I: - Vì tia phân giác của góc $\angle AOB$ chia đôi góc này thành hai góc bằng nhau, tức là mỗi góc là $45^\circ$. - Điểm I nằm trên đường tròn và tạo với tâm O góc $45^\circ$. 3. Xác định vị trí của các điểm C và D: - Tiếp tuyến tại điểm I cắt tia OA và OB lần lượt tại C và D. - Theo tính chất của tiếp tuyến và bán kính, góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc là $90^\circ$. Do đó, $\angle OCI = 90^\circ$ và $\angle OID = 90^\circ$. 4. Xác định các đoạn thẳng AC và BD: - Vì $\angle AOB = 90^\circ$, tam giác OAB là tam giác vuông cân tại O. - Độ dài OA = OB = 10 cm. - Độ dài AB = $10\sqrt{2}$ cm (theo định lý Pythagoras). 5. Xác định độ dài AC và BD: - Vì tiếp tuyến tại I cắt tia OA và OB, ta có AC = BD. - Độ dài AC và BD có thể tính bằng cách sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tam giác vuông. 6. Tính độ dài AC và BD: - Độ dài AC = BD = $10\sqrt{2} - 10$ cm (vì đoạn thẳng từ tâm đến điểm tiếp xúc là bán kính). 7. Tính tổng AC + BD: - AC + BD = $2 \times (10\sqrt{2} - 10)$ cm. - Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất: $2 \times (10\sqrt{2} - 10) \approx 2 \times (14.14 - 10) = 2 \times 4.14 = 8.28 \approx 8.3$ cm. Vậy đáp án đúng là: C. 8,3 cm. Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số đã biết: - Điểm O cách đường thẳng xy là 12 cm. - Đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng xy tại điểm A. - Trên OA lấy điểm M sao cho OM = 4 cm. - Qua M kẻ dây cung CD vuông góc với OA. 2. Xác định bán kính R của đường tròn: Vì đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng xy tại điểm A, nên OA = R = 12 cm. 3. Xác định khoảng cách từ M đến xy: Vì OM = 4 cm, nên khoảng cách từ M đến xy là 12 - 4 = 8 cm. 4. Xác định khoảng cách từ O đến CD: Vì CD vuông góc với OA và M nằm trên OA, nên khoảng cách từ O đến CD là 8 cm. 5. Xác định độ dài dây cung CD: Ta sử dụng công thức tính độ dài dây cung của đường tròn: \[ CD = 2 \sqrt{R^2 - d^2} \] Trong đó, R là bán kính đường tròn và d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây cung. \[ CD = 2 \sqrt{12^2 - 8^2} = 2 \sqrt{144 - 64} = 2 \sqrt{80} = 2 \times 8,94 = 17,88 \text{ cm} \] 6. Xác định diện tích tứ giác ODAC: Tứ giác ODAC là hình thang có đáy lớn là OA = 12 cm, đáy bé là CD = 17,88 cm, và chiều cao là khoảng cách từ O đến CD = 8 cm. Diện tích của hình thang là: \[ S_{ODAC} = \frac{(OA + CD) \times \text{khoảng cách từ O đến CD}}{2} = \frac{(12 + 17,88) \times 8}{2} = \frac{29,88 \times 8}{2} = 119,52 \text{ cm}^2 \] 7. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất: Diện tích tứ giác ODAC là 119,52 cm², làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất là 119,5 cm². Vậy đáp án đúng là: A. 51,7 cm². B. 51,8 cm². C. 48 cm². D. 48,1 cm². Đáp án: D. 48,1 cm².