Giúp với ạaa

Câu 1. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{(2-\sqrt5)^2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của biểu thức $(2-\sqrt5)$. - Ta biết rằng $\sqrt{5} \approx 2.236$, do đó $2 - \sqrt{5} < 0$. Bước 2: Áp dụng công thức $\sqrt{x^2} = |x|$. - Trong trường hợp này, $x = 2 - \sqrt{5}$, nên $\sqrt{(2-\sqrt5)^2} = |2-\sqrt5|$. Bước 3: Tính giá trị tuyệt đối của $2 - \sqrt{5}$. - Vì $2 - \sqrt{5} < 0$, nên $|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$. Vậy, biểu thức $\sqrt{(2-\sqrt5)^2}$ được rút gọn thành $\sqrt{5} - 2$. Đáp án đúng là: C. $\sqrt{5} - 2$. Câu 2. Để xác định biểu thức nào luôn xác định với mọi giá trị của \( x \), ta cần kiểm tra điều kiện của mỗi căn thức. A. \( \sqrt{3x + 1} \) Điều kiện: \( 3x + 1 \geq 0 \) \( 3x \geq -1 \) \( x \geq -\frac{1}{3} \) Biểu thức này không xác định với mọi giá trị của \( x \) nhỏ hơn \(-\frac{1}{3}\). B. \( \sqrt{2 + x^2} \) Điều kiện: \( 2 + x^2 \geq 0 \) Vì \( x^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x \), nên \( 2 + x^2 \geq 2 \geq 0 \). Biểu thức này luôn xác định với mọi giá trị của \( x \). C. \( \sqrt{4x^2 - 1} \) Điều kiện: \( 4x^2 - 1 \geq 0 \) \( 4x^2 \geq 1 \) \( x^2 \geq \frac{1}{4} \) \( |x| \geq \frac{1}{2} \) Biểu thức này không xác định với mọi giá trị của \( x \) thỏa mãn \( -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \). D. \( \sqrt{3x} \) Điều kiện: \( 3x \geq 0 \) \( x \geq 0 \) Biểu thức này không xác định với mọi giá trị của \( x \) nhỏ hơn 0. Kết luận: Biểu thức \( \sqrt{2 + x^2} \) luôn xác định với mọi giá trị của \( x \). Đáp án: B. \( \sqrt{2 + x^2} \) Câu 3. Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có các tỉ số lượng giác của góc B như sau: - $\sin B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}$ - $\cos B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}$ - $\tan B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB}$ Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. $AB = BC \cdot \tan B$ - Thay vào công thức: $AB = BC \cdot \frac{AC}{AB}$ - Điều này không đúng vì nó dẫn đến $AB^2 = BC \cdot AC$, không phải $AB = BC \cdot \tan B$. B. $AB = BC \cdot \sin B$ - Thay vào công thức: $AB = BC \cdot \frac{AC}{BC}$ - Điều này không đúng vì nó dẫn đến $AB = AC$, không phải $AB = BC \cdot \sin B$. C. $AB = \frac{BC}{\cos B}$ - Thay vào công thức: $AB = \frac{BC}{\frac{AB}{BC}}$ - Điều này không đúng vì nó dẫn đến $AB = \frac{BC^2}{AB}$, không phải $AB = \frac{BC}{\cos B}$. D. $AB = BC \cdot \cos B$ - Thay vào công thức: $AB = BC \cdot \frac{AB}{BC}$ - Điều này đúng vì nó dẫn đến $AB = AB$. Vậy đáp án đúng là D. $AB = BC \cdot \cos B$. Câu 4. Để tìm hệ thức đúng, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một dựa trên các công thức lượng giác cơ bản trong tam giác vuông. A. $\tan B = \frac{AB}{AC}$ - Trong tam giác vuông ABC, $\tan B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB}$. Do đó, lựa chọn này sai. B. $\cos C = \frac{AB}{AC}$ - Trong tam giác vuông ABC, $\cos C = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}$. Do đó, lựa chọn này sai. C. $\cot B = \frac{AC}{AB}$ - Trong tam giác vuông ABC, $\cot B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{AB}{AC}$. Do đó, lựa chọn này sai. D. $\cot C = \frac{HC}{HA}$ - Trong tam giác vuông ABC, $\cot C = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}$. Trong tam giác vuông AHC, $\cot C = \frac{HA}{HC}$. Do đó, lựa chọn này sai. Tuy nhiên, nếu chúng ta xem xét lại các công thức lượng giác và các cạnh liên quan, chúng ta thấy rằng: - Trong tam giác vuông AHC, $\cot C = \frac{HA}{HC}$. Do đó, lựa chọn đúng là D. $\cot C = \frac{HC}{HA}$. Đáp án: D. $\cot C = \frac{HC}{HA}$. Câu 5. Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao hạ từ đỉnh vuông. 1. Tính độ dài cạnh \(BC\): \[ BC = BH + CH = 1 + 2 = 3 \text{ cm} \] 2. Áp dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông \(ABC\) với đường cao \(AH\), ta có: \[ AH^2 = BH \cdot CH \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ AH^2 = 1 \cdot 2 = 2 \implies AH = \sqrt{2} \text{ cm} \] 3. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác \(ABH\): \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ AB^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 \implies AB = \sqrt{3} \text{ cm} \] Vậy độ dài cạnh \(AB\) là \(\sqrt{3}\) cm. Đáp án đúng là: A. \(\sqrt{3}\) cm. Câu 6. Để xác định mối quan hệ giữa đường thẳng \(a\) và đường tròn \((O; 5 \text{cm})\), ta cần so sánh khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(a\) với bán kính của đường tròn. - Bán kính của đường tròn là 5 cm. - Khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(a\) là 2,5 cm. Ta thấy rằng khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(a\) (2,5 cm) nhỏ hơn bán kính của đường tròn (5 cm). Do đó, đường thẳng \(a\) sẽ cắt đường tròn tại hai điểm. Vậy đáp án đúng là: B. cắt đường tròn. Câu 7. a) \( a + 3 > b + 3 \) Trừ cả hai vế cho 3 ta được: \[ a > b \] Vậy khẳng định a) là đúng. b) \( 7.(5a + 3) < 7.(5b + 3) \) Ta thấy \( 5a + 3 > 5b + 3 \) (vì \( a > b \)). Nhân cả hai vế với 7 ta được: \[ 7.(5a + 3) > 7.(5b + 3) \] Vậy khẳng định b) là sai. c) \( -2a < -2b \) Nhân cả hai vế của \( a > b \) với -2 ta được: \[ -2a < -2b \] Vậy khẳng định c) là đúng. d) \( a + 5 > b - 3 \) Ta thấy \( a > b \), do đó \( a + 5 > b + 5 \). Mặt khác, \( b + 5 > b - 3 \) (vì 5 > -3). Do đó: \[ a + 5 > b - 3 \] Vậy khẳng định d) là đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 8. Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 4 \) Biểu thức cần rút gọn: \[ A = \frac{x+4}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} \] Ta thực hiện phép nhân hai phân thức: \[ A = \frac{(x+4)(\sqrt{x}-2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} \] Nhận thấy rằng \( x+4 \) và \( x-4 \) có thể được viết lại dưới dạng \( (\sqrt{x})^2 + 4 \) và \( (\sqrt{x})^2 - 4 \): \[ A = \frac{((\sqrt{x})^2 + 4)(\sqrt{x}-2)}{((\sqrt{x})^2 - 4)(\sqrt{x}+2)} \] Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) cho \( (\sqrt{x})^2 - 4 \): \[ (\sqrt{x})^2 - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) \] Do đó, biểu thức trở thành: \[ A = \frac{((\sqrt{x})^2 + 4)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 2)} \] Rút gọn chung \( \sqrt{x} - 2 \) ở tử và mẫu: \[ A = \frac{(\sqrt{x})^2 + 4}{(\sqrt{x} + 2)^2} \] Từ đây, ta có kết quả rút gọn của biểu thức: \[ A = \frac{x + 4}{(\sqrt{x} + 2)^2} \] Đáp số: \( \frac{x + 4}{(\sqrt{x} + 2)^2} \)