huo ốp mi g ch $x ightarrow1~~\surd x-1$ -.. I ,$ extcircled7~\lim_{x ightarrow1}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{3x+5}}{x^2-1}$ $ extcircled3~\lim_{x ightarrow0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}x$ $ extcircled9~\lim_{x ightarrow0}\frac{\sqrt{1+4x}-\sqrt[3]{1+6x}}{x^2}$,$ extcircled{10}~\lim_{x ightarrow2}\frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{2x^2-5x+2}$ $ extcircled{11}~\lim_{x ightarrow1}\frac{\sqrt{5-x^3}-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$ $ extcircled{12}~\lim_{x ightarrow1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt x-1}$,$ extcircled{13}~\lim_{x ightarrow1}\frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{x^2-3x+2}$ $ extcircled{14}~\lim_{x ightarrow-1}\frac{\sqrt[3]x+1}{\sqrt{x^2+3}-2}$ $ extcircled{15}~\lim_{x ightarrow1}\frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}$,$ extcircled{16}~\lim_{x ightarrow0}\frac{\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+4x}-1}x$ $ extcircled{17}~\lim_{x ightarrow0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt{1-x}}x$ $ extcircled{18}~\lim_{x ightarrow2}\frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{x^2-3x+2}$

Question

huo ốp mi g ch $xightarrow1~~\surd x-1$ -..      I ,$	extcircled7~\lim_{xightarrow1}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{3x+5}}{x^2-1}$ $	extcircled3~\lim_{xightarrow0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}x$ $	extcircled9~\lim_{xightarrow0}\frac{\sqrt{1+4x}-\sqrt[3]{1+6x}}{x^2}$,$	extcircled{10}~\lim_{xightarrow2}\frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{2x^2-5x+2}$ $	extcircled{11}~\lim_{xightarrow1}\frac{\sqrt{5-x^3}-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$ $	extcircled{12}~\lim_{xightarrow1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt x-1}$,$	extcircled{13}~\lim_{xightarrow1}\frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{x^2-3x+2}$ $	extcircled{14}~\lim_{xightarrow-1}\frac{\sqrt[3]x+1}{\sqrt{x^2+3}-2}$ $	extcircled{15}~\lim_{xightarrow1}\frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}$,$	extcircled{16}~\lim_{xightarrow0}\frac{\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+4x}-1}x$ $	extcircled{17}~\lim_{xightarrow0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt{1-x}}x$ $	extcircled{18}~\lim_{xightarrow2}\frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{x^2-3x+2}$

Accepted Answer

Để giải quyết các giới hạn này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp và các phép biến đổi đại số phù hợp. Dưới đây là các bước chi tiết cho từng giới hạn:

Bài 7:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{x^2 - 1}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5})(\sqrt{x+3} + \sqrt[3]{3x+5})}{(x^2 - 1)(\sqrt{x+3} + \sqrt[3]{3x+5})}
$$

Tử số trở thành:
$$
(\sqrt{x+3})^2 - (\sqrt[3]{3x+5})^2 = (x+3) - (3x+5) = -2x - 2
$$

Mẫu số là:
$$
(x^2 - 1)(\sqrt{x+3} + \sqrt[3]{3x+5}) = (x-1)(x+1)(\sqrt{x+3} + \sqrt[3]{3x+5})
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3} + \sqrt[3]{3x+5})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2}{(x-1)(\sqrt{x+3} + \sqrt[3]{3x+5})}
$$

Khi $ x \to 1 $:
$$
\frac{-2}{(1-1)(\sqrt{1+3} + \sqrt[3]{3+5})} = \frac{-2}{0} \text{ (không xác định)}
$$

Bài 8:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt[3]{x+1}}{x}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt[3]{x+1})(\sqrt{x+1} + \sqrt[3]{x+1})}{x(\sqrt{x+1} + \sqrt[3]{x+1})}
$$

Tử số trở thành:
$$
(\sqrt{x+1})^2 - (\sqrt[3]{x+1})^2 = (x+1) - (x+1) = 0
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{0}{x(\sqrt{x+1} + \sqrt[3]{x+1})} = 0
$$

Bài 9:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+4x} - \sqrt[3]{1+6x}}{x^2}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+4x} - \sqrt[3]{1+6x})(\sqrt{1+4x} + \sqrt[3]{1+6x})}{x^2(\sqrt{1+4x} + \sqrt[3]{1+6x})}
$$

Tử số trở thành:
$$
(\sqrt{1+4x})^2 - (\sqrt[3]{1+6x})^2 = (1+4x) - (1+6x) = -2x
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{-2x}{x^2(\sqrt{1+4x} + \sqrt[3]{1+6x})} = \lim_{x \to 0} \frac{-2}{x(\sqrt{1+4x} + \sqrt[3]{1+6x})} = -\infty
$$

Bài 10:
$$
\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{8x+11} - \sqrt{x+7}}{2x^2 - 5x + 2}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt[3]{8x+11} - \sqrt{x+7})(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})}{(2x^2 - 5x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})}
$$

Tử số trở thành:
$$
(8x+11) - (x+7) = 7x + 4
$$

Mẫu số là:
$$
(2x^2 - 5x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 2} \frac{7x + 4}{(2x^2 - 5x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})}
$$

Khi $ x \to 2 $:
$$
\frac{7(2) + 4}{(2(2)^2 - 5(2) + 2)(\sqrt[3]{(8(2)+11)^2} + \sqrt[3]{8(2)+11}\sqrt{2+7} + \sqrt{(2+7)^2})} = \frac{18}{(8 - 10 + 2)(\sqrt[3]{27^2} + \sqrt[3]{27}\sqrt{9} + \sqrt{9^2})} = \frac{18}{0} \text{ (không xác định)}
$$

Bài 11:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{5-x^3} - \sqrt[3]{x^2+7}}{x^2 - 1}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5-x^3} - \sqrt[3]{x^2+7})(\sqrt{5-x^3} + \sqrt[3]{x^2+7})}{(x^2 - 1)(\sqrt{5-x^3} + \sqrt[3]{x^2+7})}
$$

Tử số trở thành:
$$
(\sqrt{5-x^3})^2 - (\sqrt[3]{x^2+7})^2 = (5-x^3) - (x^2+7) = -x^3 - x^2 - 2
$$

Mẫu số là:
$$
(x^2 - 1)(\sqrt{5-x^3} + \sqrt[3]{x^2+7}) = (x-1)(x+1)(\sqrt{5-x^3} + \sqrt[3]{x^2+7})
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{-x^3 - x^2 - 2}{(x-1)(x+1)(\sqrt{5-x^3} + \sqrt[3]{x^2+7})}
$$

Khi $ x \to 1 $:
$$
\frac{-(1)^3 - (1)^2 - 2}{(1-1)(1+1)(\sqrt{5-(1)^3} + \sqrt[3]{(1)^2+7})} = \frac{-4}{0} \text{ (không xác định)}
$$

Bài 12:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x+7} - 2}{\sqrt{x} - 1}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x+7} - 2)(\sqrt[3]{(x+7)^2} + 2\sqrt[3]{x+7} + 4)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt[3]{(x+7)^2} + 2\sqrt[3]{x+7} + 4)}
$$

Tử số trở thành:
$$
(x+7) - 8 = x - 1
$$

Mẫu số là:
$$
(\sqrt{x} - 1)(\sqrt[3]{(x+7)^2} + 2\sqrt[3]{x+7} + 4)
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt[3]{(x+7)^2} + 2\sqrt[3]{x+7} + 4)}
$$

Khi $ x \to 1 $:
$$
\frac{1 - 1}{(\sqrt{1} - 1)(\sqrt[3]{(1+7)^2} + 2\sqrt[3]{1+7} + 4)} = \frac{0}{0} \text{ (không xác định)}
$$

Bài 13:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{8x+11} - \sqrt{x+7}}{x^2 - 3x + 2}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{8x+11} - \sqrt{x+7})(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})}{(x^2 - 3x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})}
$$

Tử số trở thành:
$$
(8x+11) - (x+7) = 7x + 4
$$

Mẫu số là:
$$
(x^2 - 3x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{7x + 4}{(x^2 - 3x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})}
$$

Khi $ x \to 1 $:
$$
\frac{7(1) + 4}{(1^2 - 3(1) + 2)(\sqrt[3]{(8(1)+11)^2} + \sqrt[3]{8(1)+11}\sqrt{1+7} + \sqrt{(1+7)^2})} = \frac{11}{(1 - 3 + 2)(\sqrt[3]{27^2} + \sqrt[3]{27}\sqrt{8} + \sqrt{8^2})} = \frac{11}{0} \text{ (không xác định)}
$$

Bài 14:
$$
\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt[3]{x} + 1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2}
$$

Nhân lượng liên hợp ở mẫu số:
$$
\lim_{x \to -1} \frac{(\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(\sqrt{x^2 + 3} - 2)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}
$$

Mẫu số trở thành:
$$
(x^2 + 3) - 4 = x^2 - 1
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to -1} \frac{(\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 - 1}
$$

Khi $ x \to -1 $:
$$
\frac{(\sqrt[3]{-1} + 1)(\sqrt{(-1)^2 + 3} + 2)}{(-1)^2 - 1} = \frac{( -1 + 1)(\sqrt{1 + 3} + 2)}{1 - 1} = \frac{0}{0} \text{ (không xác định)}
$$

Bài 15:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)}
$$

Tử số trở thành:
$$
x - 1
$$

Mẫu số là:
$$
(\sqrt{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)}
$$

Khi $ x \to 1 $:
$$
\frac{1 - 1}{(\sqrt{1} - 1)(\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1} + 1)} = \frac{0}{0} \text{ (không xác định)}
$$

Bài 16:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} \cdot \sqrt[3]{1+4x} - 1}{x}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+2x} \cdot \sqrt[3]{1+4x} - 1)(\sqrt{1+2x} \cdot \sqrt[3]{1+4x} + 1)}{x(\sqrt{1+2x} \cdot \sqrt[3]{1+4x} + 1)}
$$

Tử số trở thành:
$$
(\sqrt{1+2x} \cdot \sqrt[3]{1+4x})^2 - 1 = (1+2x)(1+4x) - 1 = 2x + 4x + 8x^2 = 6x + 8x^2
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{6x + 8x^2}{x(\sqrt{1+2x} \cdot \sqrt[3]{1+4x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{6 + 8x}{\sqrt{1+2x} \cdot \sqrt[3]{1+4x} + 1} = \frac{6}{2} = 3
$$

Bài 17:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt{1-x}}{x}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x+1} - \sqrt{1-x})(\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x+1}\sqrt{1-x} + \sqrt{(1-x)^2})}{x(\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x+1}\sqrt{1-x} + \sqrt{(1-x)^2})}
$$

Tử số trở thành:
$$
(x+1) - (1-x) = 2x
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x+1}\sqrt{1-x} + \sqrt{(1-x)^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x+1}\sqrt{1-x} + \sqrt{(1-x)^2}} = \frac{2}{3}
$$

Bài 18:
$$
\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{8x+11} - \sqrt{x+7}}{x^2 - 3x + 2}
$$

Nhân lượng liên hợp ở tử số:
$$
\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt[3]{8x+11} - \sqrt{x+7})(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})}{(x^2 - 3x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})}
$$

Tử số trở thành:
$$
(8x+11) - (x+7) = 7x + 4
$$

Mẫu số là:
$$
(x^2 - 3x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})
$$

Do đó:
$$
\lim_{x \to 2} \frac{7x + 4}{(x^2 - 3x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)^2})}
$$

Khi $ x \to 2 $:
$$
\frac{7(2) + 4}{(2^2 - 3(2) + 2)(\sqrt[3]{(8(2)+11)^2} + \sqrt[3]{8(2)+11}\sqrt{2+7} + \sqrt{(2+7)^2})} = \frac{18}{(4 - 6 + 2)(\sqrt[3]{27^2} + \sqrt[3]{27}\sqrt{9} + \sqrt{9^2})} = \frac{18}{0} \text{ (không xác định)}
$$

Kết luận:
Các giới hạn trên đều không xác định hoặc không thể tính trực tiếp do mẫu số bằng 0 khi cận của biến đến giá trị đã cho.