Cho ΔABC nhọn (AB

Question

Cho ΔABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) C/m tứ giác BFEC nội tiếp
b) Vẽ đường kính AT của đường tròn (O). C/m ΔADB đồng dạng với ΔACT và 2
ˆHEF+ˆAOC=180 độ

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp

Để chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối diện của tứ giác này bằng 180 độ.

- Xét tứ giác BFEC, ta cần chứng minh rằng: $\angle BFE + \angle BCE = 180^\circ$.

Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC, nên:

- $\angle ADB = \angle ACB = 90^\circ$
- $\angle AEC = \angle ABC = 90^\circ$

Do đó, $\angle BFE = 180^\circ - \angle ADB = 90^\circ$ và $\angle BCE = 90^\circ$.

Vậy, $\angle BFE + \angle BCE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Do đó, tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Chứng minh $\Delta ADB \sim \Delta ACT$ và $\angle HEF + \angle AOC = 180^\circ$

Chứng minh $\Delta ADB \sim \Delta ACT$

- Xét đường kính AT của đường tròn (O), ta có $\angle AOT = 180^\circ$.

- Vì AT là đường kính, nên $\angle ACT = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

- Ta có $\angle ADB = 90^\circ$ (vì AD là đường cao).

- Xét hai tam giác ADB và ACT, ta có:
  - $\angle ADB = \angle ACT = 90^\circ$
  - $\angle BAD = \angle CAT$ (cùng chắn cung AT)

Do đó, $\Delta ADB \sim \Delta ACT$ theo trường hợp góc - góc (g-g).

Chứng minh $\angle HEF + \angle AOC = 180^\circ$

- Ta đã biết rằng tứ giác BFEC nội tiếp, do đó $\angle BFE + \angle BCE = 180^\circ$.

- Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên $\angle BHE = 180^\circ - \angle BAC$.

- Ta có $\angle HEF = \angle BHE - \angle BFE = 180^\circ - \angle BAC - \angle BFE$.

- Mặt khác, $\angle AOC = 2 \times \angle BAC$ (góc ở tâm chắn cung AC).

- Do đó, $\angle HEF + \angle AOC = (180^\circ - \angle BAC - \angle BFE) + 2 \times \angle BAC$.

- Vì $\angle BFE = \angle ACB$ và $\angle BAC + \angle ACB = 90^\circ$ (vì $\angle ABC = 90^\circ$), ta có:

$$
  \angle HEF + \angle AOC = 180^\circ - \angle BAC - (90^\circ - \angle BAC) + 2 \times \angle BAC = 180^\circ
  $$

Vậy, $\angle HEF + \angle AOC = 180^\circ$.

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.

Cho ΔABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a) C/m tứ giác BFEC nội tiếp b) Vẽ đường kính AT của đường tròn (O). C/m ΔADB đồng dạng với ΔACT và 2 ˆHEF+ˆA...