sossssssss

 a) Xét tứ giác \(AMCK\):

- \(AM\) là đường kính của đường tròn \((O)\), suy ra \(\angle ANM = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

- \(MN \perp AB\) tại \(H\), nên \(\angle MHB = 90^\circ\).

- \(AN\) cắt \(BM\) tại \(C\), suy ra \(\angle MAC + \angle MCN = 180^\circ\).

- Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng qua \(C\) vuông góc với \(AB\) và \(BN\). Do \(CK \perp AB\), suy ra \(\angle MCK = 90^\circ\).

- Ta lại có \(\angle MAC + \angle MKC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).

- Vậy, tứ giác \(AMCK\) nội tiếp.

Kết luận: A, M, C, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi O là tâm đường tròn:

- \(AB\) là đường kính, nên \(O\) nằm trên \(AB\).

- Do \(M\) nằm trên đường tròn, \(OM\) là bán kính, và vì \(OM \perp AB\) (vì \(O\) là tâm, \(M\) thuộc đường tròn, và \(AB\) là đường kính).

- Do \(OM\) là trung trực của dây \(AB\), nên \(OM\) chia đôi góc \(\angle MBN\).

- Do \(MN \perp AB\) và \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(MN\), nên tam giác \(MBN\) cân tại \(B\) (vì \(BM = BN\) do đối xứng).

- Vậy, \(OM\) là phân giác của \(\angle MBN\).

Kết luận: Bán kính \(OM\) là phân giác của \(\angle MBN\).

c) - Tứ giác \(AMCK\) nội tiếp, suy ra \(\angle MAK + \angle MCK = 180^\circ\).

- Ta có \(\angle MCK = 90^\circ\) (do \(CK \perp AB\)) và \(\angle MAK = 90^\circ\) (do tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối diện bằng \(180^\circ\)).

- Vậy, \(\angle KMC = \angle KCM\), hay tam giác \(KMC\) cân tại \(K\).

- Do \(A, M, C, K\) thuộc một đường tròn, và \(\angle MKC = 90^\circ\) (do \(CK \perp AB\)), nên \(KM\) là tiếp tuyến của đường tròn đi qua \(A, M, C, K\) tại \(M\).

Kết luận: \(\Delta KMC\) là tam giác cân và \(KM\) là tiếp tuyến.