Mng giúp mik Câu 2. [3] Biết $\lim\frac{5n^3-2n+2025}{n-2n^3}=a.$ Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?,a) Giá trị a lớn hơn 0.,b) Phương trình lượng giác $\cos x=a$ vô nghiệm.,$c)~x=a$ là trục đối xứng của parabol $(P):~y=x^2+5x+2.$,d) Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d=3$ và $u_1=a,$ thì $u_5=19.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 2.
Để giải quyết các mệnh đề trên, trước tiên chúng ta cần tìm giá trị của $ a $.

Ta có:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{5n^3 - 2n + 2025}{n - 2n^3} $$

Chia cả tử và mẫu cho $ n^3 $:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n^3}{n^3} - \frac{2n}{n^3} + \frac{2025}{n^3}}{\frac{n}{n^3} - \frac{2n^3}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{n^2} + \frac{2025}{n^3}}{\frac{1}{n^2} - 2} $$

Khi $ n \to \infty $, các phân số $\frac{2}{n^2}$, $\frac{2025}{n^3}$, và $\frac{1}{n^2}$ đều tiến đến 0. Do đó:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{5 - 0 + 0}{0 - 2} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2} $$

Vậy $ a = -\frac{5}{2} $.

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề:

a) Giá trị $ a $ lớn hơn 0.
- Sai vì $ a = -\frac{5}{2} $ là số âm.

b) Phương trình lượng giác $ \cos x = a $ vô nghiệm.
- Sai vì $ \cos x = -\frac{5}{2} $ là vô lý vì giá trị của $ \cos x $ nằm trong khoảng từ -1 đến 1.

c) $ x = a $ là trục đối xứng của parabol $ (P): y = x^2 + 5x + 2 $.
- Ta cần kiểm tra xem $ x = -\frac{5}{2} $ có phải là trục đối xứng của parabol hay không. Trục đối xứng của parabol $ y = ax^2 + bx + c $ là $ x = -\frac{b}{2a} $. Với $ a = 1 $ và $ b = 5 $:
$$ x = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -\frac{5}{2} $$
Vậy $ x = -\frac{5}{2} $ đúng là trục đối xứng của parabol. Mệnh đề này đúng.

d) Cho cấp số cộng $ (u_n) $ với công sai $ d = 3 $ và $ u_1 = a $, thì $ u_5 = 19 $.
- Ta có $ u_1 = -\frac{5}{2} $. Cấp số cộng có công thức $ u_n = u_1 + (n-1)d $. Do đó:
$$ u_5 = -\frac{5}{2} + (5-1) \cdot 3 = -\frac{5}{2} + 4 \cdot 3 = -\frac{5}{2} + 12 = \frac{-5 + 24}{2} = \frac{19}{2} $$
Vậy $ u_5 = \frac{19}{2} $, không phải 19. Mệnh đề này sai.

Tóm lại:
a) Sai
b) Sai
c) Đúng
d) Sai

Đàm · Answer

Bài 2: Tính giới hạn và phân tích các mệnh đề

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3 - 2n + 2025}{n - 2n^3} = a$$

a) Tính giá trị giới hạn $ a $:

Biểu thức giới hạn có dạng:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3 - 2n + 2025}{n - 2n^3}$$

- Ở mẫu số, ta có $ n - 2n^3 = -2n^3 + n $. Khi $ n \to \infty $, $ -2n^3 $ sẽ chiếm ưu thế.

- Ở tử số, ta có $ 5n^3 - 2n + 2025 $. Khi $ n \to \infty $, $ 5n^3 $ sẽ chiếm ưu thế.

Do đó, biểu thức giới hạn có thể rút gọn thành:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3}{-2n^3} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$$

Vậy, $ a = -\frac{5}{2} $.

---

b) Mệnh đề 1: “Giá trị $ a $ lớn hơn 0”

- Ta đã tính được $ a = -\frac{5}{2} $, giá trị này **nhỏ hơn 0**.

- Kết luận: Mệnh đề này sai.

---

c) Mệnh đề 2: “Phương trình lượng giác $ \cos x = a $ vô nghiệm”

- Ta có $ a = -\frac{5}{2} $, mà giá trị của $ \cos x $ luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1, tức là không thể có giá trị $ \cos x = -\frac{5}{2} $.

- Kết luận: Mệnh đề này đúng.

---

d) Mệnh đề 3: “Đường thẳng $ x = a $ là trục đối xứng của parabol $ (P): y = x^2 + 5x + 2 $”

- Để xác định trục đối xứng của parabol, ta sử dụng công thức trục đối xứng của parabol $ y = ax^2 + bx + c $ là:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Với $ a = 1 $, $ b = 5 $, ta tính được:

$$x = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -\frac{5}{2}$$

- Như vậy, trục đối xứng của parabol $ (P) $ là $ x = -\frac{5}{2} $, đúng bằng giá trị $ a $ đã tính được.

- Kết luận: Mệnh đề này đúng.

---

e) Mệnh đề 4: “Cho cấp số cộng $ (u_n) $ với công sai $ d = 3 $ và $ u_1 = a $, thì $ u_5 = 19 $”

- Công thức tổng quát của cấp số cộng là $ u_n = u_1 + (n-1) \cdot d $.

- Ta có $ u_5 = u_1 + 4d = a + 4 \cdot 3 = a + 12 $.

- Để $ u_5 = 19 $, ta cần:

$$a + 12 = 19 \implies a = 7$$

- Kết luận: Mệnh đề này đúng nếu $ u_1 = 7 $.

---

Đáp án

- a) Sai (Giá trị $ a $ nhỏ hơn 0).

- b) Đúng (Phương trình $ \cos x = a $ vô nghiệm).

- c) Đúng (Trục đối xứng của parabol là $ x = a $).

- d) Đúng (Cấp số cộng với $ u_1 = 7 $ và $ u_5 = 19 $).