Bài 1. Đoàn tàu số hiệu S1 đi từ ga A đến ga B, trong khi đoàn tàu số hiệu S2 đi từ ga B về ga A. Hai đoàn tàu gặp nhau khi đoàn tàu S1 đã đi được 1 giờ 30 phút, còn đoàn tàu S2 đi được 2 giờ. Một lần...

Bài 1. Gọi vận tốc của đoàn tàu S1 là x (km/h), vận tốc của đoàn tàu S2 là y (km/h). Hai đoàn tàu gặp nhau khi đoàn tàu S1 đã đi được 1 giờ 30 phút, còn đoàn tàu S2 đi được 2 giờ. Do đó, ta có phương trình: \[ 1,5x + 2y = 380 \] Một lần khác, hai đoàn tàu cũng đi từ hai ga A và B như thế nhưng khởi hành cùng lúc; sau 1 giờ 15 phút thì chúng cách nhau 105 km. Do đó, ta có phương trình: \[ 1,25(x + y) + 105 = 380 \] \[ 1,25(x + y) = 275 \] \[ x + y = 220 \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 1,5x + 2y = 380 \\ x + y = 220 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ y = 220 - x \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 1,5x + 2(220 - x) = 380 \] \[ 1,5x + 440 - 2x = 380 \] \[ -0,5x + 440 = 380 \] \[ -0,5x = 380 - 440 \] \[ -0,5x = -60 \] \[ x = 120 \] Thay x = 120 vào phương trình \( y = 220 - x \): \[ y = 220 - 120 \] \[ y = 100 \] Vậy vận tốc của đoàn tàu S1 là 120 km/h. Đáp số: 120 km/h. Bài 2. Gọi vận tốc của người đi từ A là x (km/h), vận tốc của người đi từ B là y (km/h). Bước 1: Xác định điều kiện xác định: - Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( y > 0 \). Bước 2: Xây dựng phương trình từ thông tin ban đầu: - Sau 2 giờ, hai người gặp nhau, tức là tổng quãng đường hai người đi được bằng 162 km: \[ 2x + 2y = 162 \] \[ x + y = 81 \quad \text{(1)} \] Bước 3: Xây dựng phương trình từ thông tin tiếp theo: - Người đi từ B xuất phát trước 15 phút (tức là 0,25 giờ), sau đó người đi từ A xuất phát và đi được 1 giờ. Tổng thời gian người đi từ B đã đi là 1,25 giờ. - Sau khi người đi từ A đi được 1 giờ, hai người còn cách nhau 72 km, tức là tổng quãng đường hai người đã đi được là: \[ 162 - 72 = 90 \text{ km} \] - Người đi từ B đã đi được 1,25 giờ, người đi từ A đã đi được 1 giờ: \[ 1,25y + 1x = 90 \quad \text{(2)} \] Bước 4: Giải hệ phương trình: - Từ phương trình (1): \[ y = 81 - x \] - Thay vào phương trình (2): \[ 1,25(81 - x) + x = 90 \] \[ 101,25 - 1,25x + x = 90 \] \[ 101,25 - 0,25x = 90 \] \[ 11,25 = 0,25x \] \[ x = 45 \] Bước 5: Kiểm tra lại: - Nếu \( x = 45 \), thì \( y = 81 - 45 = 36 \). - Kiểm tra lại phương trình (2): \[ 1,25 \times 36 + 1 \times 45 = 45 + 45 = 90 \] Vậy vận tốc của người đi từ A là 45 km/h. Bài 3. Gọi vận tốc lúc lên dốc của người đó là \( v_{\text{up}} \) (km/h), điều kiện: \( v_{\text{up}} > 0 \). Gọi vận tốc lúc xuống dốc của người đó là \( v_{\text{down}} \) (km/h), điều kiện: \( v_{\text{down}} > 0 \). Thời gian đi từ A đến B là 40 phút, tức là \(\frac{2}{3}\) giờ. Thời gian đi từ B về A là 41 phút, tức là \(\frac{41}{60}\) giờ. Ta có phương trình thời gian đi từ A đến B: \[ \frac{4}{v_{\text{up}}} + \frac{5}{v_{\text{down}}} = \frac{2}{3} \] Phương trình thời gian đi từ B về A: \[ \frac{4}{v_{\text{down}}} + \frac{5}{v_{\text{up}}} = \frac{41}{60} \] Bây giờ ta sẽ giải hệ phương trình này. Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với \( v_{\text{up}} \cdot v_{\text{down}} \): \[ 4v_{\text{down}} + 5v_{\text{up}} = \frac{2}{3} v_{\text{up}} \cdot v_{\text{down}} \] Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \( v_{\text{up}} \cdot v_{\text{down}} \): \[ 4v_{\text{up}} + 5v_{\text{down}} = \frac{41}{60} v_{\text{up}} \cdot v_{\text{down}} \] Gọi \( v_{\text{up}} \cdot v_{\text{down}} = k \), ta có: \[ 4v_{\text{down}} + 5v_{\text{up}} = \frac{2}{3}k \] \[ 4v_{\text{up}} + 5v_{\text{down}} = \frac{41}{60}k \] Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 5 và phương trình thứ hai với 4: \[ 20v_{\text{down}} + 25v_{\text{up}} = \frac{10}{3}k \] \[ 16v_{\text{up}} + 20v_{\text{down}} = \frac{41}{15}k \] Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình đầu tiên: \[ (16v_{\text{up}} + 20v_{\text{down}}) - (20v_{\text{down}} + 25v_{\text{up}}) = \frac{41}{15}k - \frac{10}{3}k \] \[ -9v_{\text{up}} = \frac{41}{15}k - \frac{50}{15}k \] \[ -9v_{\text{up}} = -\frac{9}{15}k \] \[ v_{\text{up}} = \frac{k}{15} \] Thay \( v_{\text{up}} = \frac{k}{15} \) vào phương trình \( 4v_{\text{down}} + 5v_{\text{up}} = \frac{2}{3}k \): \[ 4v_{\text{down}} + 5 \left( \frac{k}{15} \right) = \frac{2}{3}k \] \[ 4v_{\text{down}} + \frac{k}{3} = \frac{2}{3}k \] \[ 4v_{\text{down}} = \frac{2}{3}k - \frac{1}{3}k \] \[ 4v_{\text{down}} = \frac{1}{3}k \] \[ v_{\text{down}} = \frac{k}{12} \] Bây giờ ta có \( v_{\text{up}} = \frac{k}{15} \) và \( v_{\text{down}} = \frac{k}{12} \). Thay vào phương trình ban đầu để tìm \( k \): \[ \frac{4}{\frac{k}{15}} + \frac{5}{\frac{k}{12}} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{60}{k} + \frac{60}{k} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{120}{k} = \frac{2}{3} \] \[ k = 180 \] Vậy \( v_{\text{up}} = \frac{180}{15} = 12 \) (km/h). Đáp số: Vận tốc lúc lên dốc của người đó là 12 km/h.