P=4x²+2y²-4xy-4x-8y+2050 Tìm giá trị nhỏ nhất

Ta có : 

$\begin{aligned} &  P=4 x^2+2 y^2-4 x y-4 x-8 y+2050 \\ & =\left(4 x^2-4 x y+y^2-4 x-2 y+1\right)+\left(y^2-6 y+9\right)+2040 \\ & =(2 x-y+1)^2+(y-3)^2+2040\end{aligned}$

Xét $P$ có: $\left\{\begin{array}{l}(2 x-y+1)^2 \geq 0 \text { với mọi } \mathrm{x}, \mathrm{y} \\ (y-3)^2 \geq 0 \text { với mọi y }\end{array}\right.$

$\begin{aligned} & \Rightarrow(2 x-y+1)^2+(y-3)^2 \geq 0 \\ & \Rightarrow(2 x-y+1)^2+(y-3)^2+2040 \geq 0\end{aligned}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
+) $(y-3)^2=0 \Rightarrow y-3=0 \Rightarrow y=3$
+) Thay $y=3$ vào $\quad(2 x-y+1)^2=0 \quad$ được:

$
(2 x-3+1)^2=0 \Rightarrow 2 x-2=0 \Rightarrow 2 x=2 \Rightarrow x=1
$
Vậy, $P_{\text {min }}=2040$ khi $(x ; y)=(1 ; 3)$