có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2024;2025] để hàm số y = (2m+1)x+3/x+m đồng biến trên (4; dương vô cùng)?

Question

_Han_ · Accepted Answer

$\displaystyle y\ =\ \frac{( 2m+1) x+3}{x+m}$
DK : $\displaystyle x\ eq -m$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x\in ( 4;+\infty )\
ightarrow -m\in ( -\infty ;4]\
ightarrow m\ \in [ -4;+\infty )
\end{array}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
y'\ =\frac{( 2m+1) .m-3}{( x+m)^{2}}\
=\frac{2m^{2} +m-3}{( x+m)^{2}}
\end{array}$
Hàm số đồng biến trong khoảng xác định
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
ightarrow 2m^{2} +m-3\ >\ 0\ \
ightarrow \left[ \begin{array}{l l}
m\ < \ \frac{-3}{2} & \
m\ >\ 1\ &
\end{array} ight.\
ightarrow m\ \in \ ( 1;+\infty )
\end{array}$
mà $\displaystyle m\ \in [ -2024;\ 2025] \ $
nên $\displaystyle m\ \in ( 1;2025]$
vậy có 2024 số thỏa mãn

Timi · Answer

Để hàm số $ y = \frac{(2m+1)x + 3}{x + m} $ đồng biến trên khoảng $ (4; +\infty) $, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và kiểm tra điều kiện đạo hàm lớn hơn hoặc bằng 0 trên khoảng đã cho. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ y $. $$ y' = \left( \frac{(2m+1)x + 3}{x + m} \right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{[(2m+1)x + 3]'(x + m) - [(2m+1)x + 3](x + m)'}{(x + m)^2} $$ Tính đạo hàm từng phần: $$ [(2m+1)x + 3]' = 2m + 1 $$ $$ (x + m)' = 1 $$ Thay vào công thức đạo hàm của thương: $$ y' = \frac{(2m + 1)(x + m) - [(2m + 1)x + 3]}{(x + m)^2} $$ Rút gọn biểu thức trong tử số: $$ y' = \frac{(2m + 1)x + (2m + 1)m - (2m + 1)x - 3}{(x + m)^2} $$ $$ y' = \frac{(2m + 1)m - 3}{(x + m)^2} $$ Bước 2: Điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng $ (4; +\infty) $: Để hàm số đồng biến trên khoảng $ (4; +\infty) $, ta cần $ y' > 0 $ trên khoảng đó. $$ \frac{(2m + 1)m - 3}{(x + m)^2} > 0 $$ Vì mẫu số $ (x + m)^2 $ luôn dương (trừ khi $ x = -m $), nên ta chỉ cần quan tâm đến tử số: $$ (2m + 1)m - 3 > 0 $$ Bước 3: Giải bất phương trình: $$ (2m + 1)m - 3 > 0 $$ $$ 2m^2 + m - 3 > 0 $$ Ta giải phương trình bậc hai $ 2m^2 + m - 3 = 0 $ để tìm các nghiệm: $$ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} $$ Các nghiệm là: $$ m_1 = 1 \quad \text{và} \quad m_2 = -\frac{3}{2} $$ Phương trình $ 2m^2 + m - 3 = 0 $ có hai nghiệm phân biệt, do đó ta xét dấu của biểu thức $ 2m^2 + m - 3 $ trên các khoảng xác định bởi các nghiệm này: - Khi $ m < -\frac{3}{2} $, biểu thức $ 2m^2 + m - 3 > 0 $ - Khi $ -\frac{3}{2} < m < 1 $, biểu thức $ 2m^2 + m - 3 < 0 $ - Khi $ m > 1 $, biểu thức $ 2m^2 + m - 3 > 0 $ Do đó, điều kiện để $ 2m^2 + m - 3 > 0 $ là: $$ m < -\frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad m > 1 $$ Bước 4: Xác định các giá trị nguyên của $ m $ trong đoạn $[-2024; 2025]$: - Các giá trị nguyên $ m $ thỏa mãn $ m < -\frac{3}{2} $ là các số nguyên từ $-2024$ đến $-2$. - Các giá trị nguyên $ m $ thỏa mãn $ m > 1 $ là các số nguyên từ $2$ đến $2025$. Số lượng các giá trị nguyên $ m $ trong đoạn $[-2024; -2]$ là: $$ (-2) - (-2024) + 1 = 2023 $$ Số lượng các giá trị nguyên $ m $ trong đoạn $[2; 2025]$ là: $$ 2025 - 2 + 1 = 2024 $$ Tổng cộng số giá trị nguyên của $ m $ là: $$ 2023 + 2024 = 4047 $$ Vậy có 4047 giá trị nguyên của tham số $ m $ thuộc đoạn $[-2024; 2025]$ để hàm số $ y = \frac{(2m+1)x + 3}{x + m} $ đồng biến trên khoảng $ (4; +\infty) $.