Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi N là trung điểm của AC, K đối xứng với H qua N.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình chữ nhật.
b) BK cắt AH tại O, cắt AC tại I. Chứng minh BC = 4. NO
c Chứng minh: 2 AN²= 3 NI. AC

Question

Timi · Accepted Answer

a) Ta có N là trung điểm của AC nên AN = NC. 
K đối xứng với H qua N nên NK = NH. 
Tứ giác AHCK có AK // HC (vì AK = HC và AK // HC) và AH // KC (vì AH = KC và AH // KC) nên tứ giác AHCK là hình chữ nhật.

b) Ta có AHCK là hình chữ nhật nên AK = HC và AK // HC. 
Từ đó ta có $\frac{AO}{OH} = \frac{AK}{HC} = 1$ nên AO = OH. 
Ta có $\frac{AO}{OH} = \frac{AN}{NC}$ nên ON // CH. 
Từ đó ta có $\frac{NO}{BC} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{4}$ nên BC = 4. NO.

c) Ta có $\frac{AI}{IC} = \frac{AO}{OH} = 1$ nên AI = IC. 
Từ đó ta có AC = 2. IC. 
Ta có $\frac{AN}{NC} = \frac{AO}{OH} = 1$ nên ON // CH. 
Từ đó ta có $\frac{NI}{IA} = \frac{NO}{OC} = \frac{1}{3}$ nên NI = $\frac{1}{3}$ IA. 
Từ đó ta có 2. AN² = 2. ($\frac{1}{2}$ AC)² = $\frac{1}{2}$ AC² = $\frac{1}{2}$ AC. AC = $\frac{1}{2}$ AC. 2. IC = AC. IC = 3. NI. AC.

hangnguyen720 · Answer

a.Ta có: $A C \cap H K=N$ là trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow A H C K$ là hình bình hành
Mà $A H \perp C B$
$\Rightarrow A H C K$ là hình chữ nhật
b.Từ câu a $\Rightarrow A K / / C H, A K=H C$
vì $ riangle A B C$ cân tại $A, A H \perp B C \Rightarrow H$ là trung điểm $B C \Rightarrow H B=H C$
$\Rightarrow A K / / H B, A K=H B$
$\Rightarrow A K H B$ là hình bình hành
$\Rightarrow A H \cap B K=O$ là trung điểm mỗi đường
Mà $N$ là trung điểm $A C ightarrow O N$ là đường trung bình $ riangle H C A$

$
\Rightarrow O N=\frac{1}{2} H C=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} B C=\frac{1}{4} B C
$

c. Ta có: $N, O$ là trung điểm $K H, H A$ và $A N \cap K O=I$
$\Rightarrow I$ là trọng tâm $ riangle H A K$
$\Rightarrow A N=3 N I$
Mà $2 A N=A C$

$
\begin{aligned}
& \Rightarrow 2 A N \cdot A N=3 N I \cdot A C \
& \Rightarrow 2 A N^2=3 N I \cdot A C
\end{aligned}
$

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi N là trung điểm của AC, K đối xứng với H qua N. a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình chữ nhật. b) BK cắt AH tại O, cắt AC tại I. Chứng minh BC = 4. NO c Chứn...