Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 840 km/h. Sau thời điểm đó nửa giờ và ở độ cao thấp hơn vị trí máy bay A 50km, máy bay B cũng duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ 960km/h. Tìm thời gian máy bay B bay trong khoảng thời gian 6h tính từ lúc máy bay B bay theo hướng nam để khoảng cách giữa hai máy bay A và B ngắn nhất

Question

Timi · Accepted Answer

Trước hết, ta xác định vị trí ban đầu của máy bay A và máy bay B trên hệ tọa độ Oxyz.

- Máy bay A bay về phía nam với tốc độ 840 km/h. Sau nửa giờ (0,5 giờ), máy bay A đã bay được:
$$ 840 \times 0,5 = 420 \text{ km} $$

Do đó, tọa độ của máy bay A sau nửa giờ là:
$$ A(0, -420, z_A) $$
với $ z_A $ là độ cao của máy bay A.

- Máy bay B bay về phía nam với tốc độ 960 km/h, bắt đầu bay sau nửa giờ so với máy bay A và ở độ cao thấp hơn 50 km. Do đó, tọa độ của máy bay B khi bắt đầu bay là:
$$ B(0, 0, z_B) $$
với $ z_B = z_A - 50 $.

Sau thời gian $ t $ giờ kể từ khi máy bay B bắt đầu bay, máy bay B sẽ có tọa độ:
$$ B(0, -960t, z_B) $$

Máy bay A sau thời gian $ t + 0,5 $ giờ kể từ khi bắt đầu bay sẽ có tọa độ:
$$ A(0, -840(t + 0,5), z_A) $$

Khoảng cách giữa hai máy bay A và B là:
$$ d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-840(t + 0,5) + 960t)^2 + (z_A - z_B)^2} $$
$$ d = \sqrt{(960t - 840t - 420)^2 + 50^2} $$
$$ d = \sqrt{(120t - 420)^2 + 2500} $$

Để khoảng cách này ngắn nhất, ta cần tìm giá trị của $ t $ sao cho biểu thức $ (120t - 420)^2 + 2500 $ nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $ 120t - 420 = 0 $:
$$ 120t = 420 $$
$$ t = \frac{420}{120} = 3,5 \text{ giờ} $$

Vậy thời gian máy bay B bay trong khoảng thời gian 6 giờ tính từ lúc máy bay B bay theo hướng nam để khoảng cách giữa hai máy bay A và B ngắn nhất là 3,5 giờ.

umekouroi · Answer

Chọn mốc thời gian là lúc máy bay B xuất phát
Tọa độ của hai máy bay theo phương trục tọa độ Oxy là:
Máy bay A: $\displaystyle ( x_{A} ,840( t+0.5) ,z_{A})$
Máy bay B: $\displaystyle ( x_{B} ,960t,z_{A} -50)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \ \overrightarrow{AB} =( x_{B} -x_{A} ,120t-420,-50)\
|\overrightarrow{AB} |=\sqrt{( x_{B} -x_{A})^{2} +( 120t-420)^{2} +( -50)^{2}}\
\Longrightarrow f( t) =( x_{B} -x_{A})^{2} +( 120t-420)^{2} +( -50)^{2}\
f'( t) =240( 120t-420) =0\
\leftrightarrow t=3.5
\end{array}$
Vậy với t=3.5 thì khoảng cách hai máy bay AB là nhỏ nhất

Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục Ox...