Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AB = AM. Gọi I là trung điểm của BM, tia AI cắt cạnh BC tại N. a) Chứng minh AI ⊥ BM và NB = NM. b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao c...

a) Ta có AB = AM (theo đề bài) và BI = IM (vì I là trung điểm của BM). Do đó, tam giác ABI và tam giác AMI là hai tam giác có hai cạnh bằng nhau và chung một cạnh AI. Vì vậy, tam giác ABI và tam giác AMI là hai tam giác bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh). Từ đó, ta có góc ABI = góc AMI. Nhưng góc ABI + góc AMI = 180° (hai góc kề bù), nên góc ABI = góc AMI = 90°. Vậy AI ⊥ BM. Tiếp theo, ta chứng minh NB = NM. Ta có góc BAM = góc BMA (vì tam giác BAM cân tại A). Gọi góc BAM = góc BMA = α. Ta có góc BAI = góc MAI (vì tam giác ABI và tam giác AMI bằng nhau). Gọi góc BAI = góc MAI = β. Ta có góc BAN = góc BAM + góc MAN = α + β. Góc MAN = góc IAM (vì tam giác IAM cân tại I). Gọi góc IAM = γ. Ta có góc IAM = 90° - β (vì tam giác IAM vuông tại I). Vậy góc MAN = 90° - β. Góc BAN = α + β. Góc ANB = 180° - (góc BAN + góc ABN) = 180° - (α + β + α) = 180° - 2α - β. Góc ANM = 180° - (góc MAN + góc IAM) = 180° - ((90° - β) + γ) = 180° - 90° + β - γ = 90° + β - γ. Vì góc ANB = góc ANM, nên tam giác ANB và tam giác ANM là hai tam giác có hai góc bằng nhau và chung một cạnh AN. Vì vậy, tam giác ANB và tam giác ANM là hai tam giác bằng nhau (góc - góc - cạnh). Từ đó, ta có NB = NM. b) Ta có BD = MC (theo đề bài). Ta cũng có AB = AM (theo đề bài). Ta có góc BAD = góc MAC (vì tia AD là tia đối của tia AB và tia AM nằm trên tia AC). Vì vậy, tam giác BAD và tam giác MAC là hai tam giác có hai cạnh bằng nhau và chung một góc giữa chúng. Vì vậy, tam giác BAD và tam giác MAC là hai tam giác bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Từ đó, ta có góc BDA = góc MCA. Gọi góc BDA = góc MCA = δ. Ta có góc AND = 180° - (góc DAN + góc DNA) = 180° - (góc BAD + góc BAN) = 180° - (δ + α + β). Góc MNC = 180° - (góc CMN + góc MNC) = 180° - (góc MCA + góc MNA) = 180° - (δ + 90° - β) = 90° + β - δ. Vì góc AND = góc MNC, nên ba điểm M, N, D thẳng hàng. Bài 5. a) Ta có: AB = AM nên tam giác ABM cân tại A. Mà I là trung điểm của BM nên AI là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác ABM. Suy ra: \(AI \perp BM\) và \(\widehat{BAI} = \widehat{MAI}\) Ta có: \(\widehat{BAN} = \widehat{MAN}\) (vì \(\widehat{BAI} = \widehat{MAI}\)) và \(\widehat{ANB} = \widehat{ANM}\) (đối đỉnh). Suy ra tam giác ABN và tam giác AMN có: - \(\widehat{BAN} = \widehat{MAN}\) - \(AN\) chung - \(\widehat{ANB} = \widehat{ANM}\) Nên tam giác ABN và tam giác AMN bằng nhau (g.c.g). Suy ra: \(NB = NM\) b) Ta có: \(AB = AM\) (gt) và \(BD = MC\) (gt). Suy ra: \(AD = AB + BD = AM + MC = AC\) Xét tam giác ABD và tam giác AMC có: - \(AB = AM\) (gt) - \(BD = MC\) (gt) - \(AD = AC\) (chứng minh trên) Nên tam giác ABD và tam giác AMC bằng nhau (c.c.c). Suy ra: \(\widehat{BAD} = \widehat{CAM}\) Mà \(\widehat{BAN} = \widehat{MAN}\) (chứng minh trên) nên \(\widehat{DAN} = \widehat{CAN}\) Xét tam giác DAN và tam giác CAN có: - \(AD = AC\) (chứng minh trên) - \(AN\) chung - \(\widehat{DAN} = \widehat{CAN}\) Nên tam giác DAN và tam giác CAN bằng nhau (c.g.c). Suy ra: \(DN = CN\) Mà \(CN = NB\) (chứng minh trên) nên \(DN = NB\). Vậy ba điểm M, N, D thẳng hàng.