cho các số thực dương x,y,z thay đổi thoả mãn 1/x+1/y+1/z=3 . Tìm GTNN của biểu thức P=x^2.(z+1)/z.(x^2+1)+y^2.(x+1)/x.(y^2+1)+z^2.(y+1)/y.(z^2+1)

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = \frac{x^2(z+1)}{z(x^2+1)} + \frac{y^2(x+1)}{x(y^2+1)} + \frac{z^2(y+1)}{y(z^2+1)} $ với điều kiện $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3 $, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức.

Trước tiên, ta biến đổi từng phân thức trong biểu thức $ P $:

$$ 
P = \frac{x^2(z+1)}{z(x^2+1)} + \frac{y^2(x+1)}{x(y^2+1)} + \frac{z^2(y+1)}{y(z^2+1)}
$$

Ta có thể viết lại mỗi phân thức dưới dạng:

$$ 
\frac{x^2(z+1)}{z(x^2+1)} = \frac{x^2z + x^2}{z(x^2+1)} = \frac{x^2z}{z(x^2+1)} + \frac{x^2}{z(x^2+1)} = \frac{x^2}{x^2+1} + \frac{x^2}{z(x^2+1)}
$$

Tương tự cho các phân thức còn lại:

$$ 
\frac{y^2(x+1)}{x(y^2+1)} = \frac{y^2}{y^2+1} + \frac{y^2}{x(y^2+1)}
$$

$$ 
\frac{z^2(y+1)}{y(z^2+1)} = \frac{z^2}{z^2+1} + \frac{z^2}{y(z^2+1)}
$$

Do đó, ta có:

$$ 
P = \left( \frac{x^2}{x^2+1} + \frac{x^2}{z(x^2+1)} \right) + \left( \frac{y^2}{y^2+1} + \frac{y^2}{x(y^2+1)} \right) + \left( \frac{z^2}{z^2+1} + \frac{z^2}{y(z^2+1)} \right)
$$

Nhận thấy rằng:

$$ 
\frac{x^2}{x^2+1} + \frac{y^2}{y^2+1} + \frac{z^2}{z^2+1} \geq \frac{3}{2}
$$

vì $ \frac{a^2}{a^2+1} \geq \frac{1}{2} $ khi $ a > 0 $.

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng:

$$ 
\frac{x^2}{z(x^2+1)} + \frac{y^2}{x(y^2+1)} + \frac{z^2}{y(z^2+1)} \geq \frac{3}{2}
$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các phân thức này:

$$ 
\frac{x^2}{z(x^2+1)} + \frac{y^2}{x(y^2+1)} + \frac{z^2}{y(z^2+1)} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{x^2}{z(x^2+1)} \cdot \frac{y^2}{x(y^2+1)} \cdot \frac{z^2}{y(z^2+1)}} = 3 \sqrt[3]{\frac{x^2 y^2 z^2}{xyz (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}}
$$

Do $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3 $, ta có $ xyz \leq 1 $. Do đó:

$$ 
\frac{x^2 y^2 z^2}{xyz (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} \leq \frac{1}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}
$$

Và do đó:

$$ 
3 \sqrt[3]{\frac{1}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}} \geq \frac{3}{2}
$$

Kết hợp lại, ta có:

$$ 
P \geq \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3
$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P $ là 3, đạt được khi $ x = y = z = 1 $.

Đáp số: $ P_{min} = 3 $ khi $ x = y = z = 1 $.