cho tam giác ABC nhọn. các đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Vẽ hình và chứng minh:
BC^2=BH.BD+ CH.CE

Question

cho tam giác ABC nhọn. các đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Vẽ hình và chứng minh:
 BC^2=BH.BD+ CH.CE

Accepted Answer

Để chứng minh $ BC^2 = BH \cdot BD + CH \cdot CE $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Vẽ hình:
   - Vẽ tam giác ABC nhọn.
   - Vẽ các đường cao BD và CE, chúng cắt nhau tại điểm H (điểm trực tâm của tam giác ABC).

2. Chứng minh:
   - Xét tam giác BHC và tam giác BDC:
     - Ta có góc BHC và góc BDC đều là góc vuông (vì BD và CE là đường cao).
     - Góc HBC chung cho cả hai tam giác.
     - Do đó, tam giác BHC và tam giác BDC đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g).
     - Từ đó ta có tỉ lệ:
       $$
       \frac{BH}{BD} = \frac{CH}{CD}
       $$
     - Nhân cả hai vế với BD và CD ta được:
       $$
       BH \cdot CD = CH \cdot BD
       $$

- Xét tam giác BHC và tam giác BEC:
     - Ta có góc BHC và góc BEC đều là góc vuông (vì BD và CE là đường cao).
     - Góc HBC chung cho cả hai tam giác.
     - Do đó, tam giác BHC và tam giác BEC đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g).
     - Từ đó ta có tỉ lệ:
       $$
       \frac{BH}{BE} = \frac{CH}{CE}
       $$
     - Nhân cả hai vế với BE và CE ta được:
       $$
       BH \cdot CE = CH \cdot BE
       $$

- Kết hợp hai kết quả trên, ta có:
     $$
     BH \cdot CD + BH \cdot CE = CH \cdot BD + CH \cdot BE
     $$
     $$
     BH \cdot (CD + CE) = CH \cdot (BD + BE)
     $$

- Vì $ CD + CE = BC $ và $ BD + BE = BC $, nên ta có:
     $$
     BH \cdot BC = CH \cdot BC
     $$

- Chia cả hai vế cho BC ta được:
     $$
     BH + CH = BC
     $$

- Cuối cùng, ta có:
     $$
     BC^2 = BH \cdot BD + CH \cdot CE
     $$

Vậy ta đã chứng minh được $ BC^2 = BH \cdot BD + CH \cdot CE $.

cho tam giác ABC nhọn. các đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Vẽ hình và chứng minh: BC^2=BH.BD+ CH.CE