Giải hệ phương trình:
$2x=y^2+y$
$2y=x^2+x$
Mn thông cảm nhé, tớ không biết ngoặc

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5045803,"userName":"minhthu_"}

Ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} 2x = y^2 + y \ 2y = x^2 + x \end{cases}$

Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới, ta được:

$2x - 2y = y^2 + y - x^2 - x$

$\Leftrightarrow 2(x - y) = (y^2 - x^2) + (y - x)$

$\Leftrightarrow 2(x - y) = (y - x)(y + x) + (y - x)$

$\Leftrightarrow 2(x - y) = (y - x)(y + x + 1)$

$\Leftrightarrow 2(x - y) + (x - y)(x + y + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x - y)(2 + x + y + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x - y)(x + y + 3) = 0$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x - y = 0 \ x + y + 3 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = y \ x = -y - 3 \end{cases}$

* Trường hợp 1: $x = y$

Thay vào phương trình đầu, ta được:

$2x = x^2 + x$

$\Leftrightarrow x^2 - x = 0$

$\Leftrightarrow x(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \Rightarrow y = 0 \ x = 1 \Rightarrow y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(0; 0)$ và $(1; 1)$.

* Trường hợp 2: $x = -y - 3$

Thay vào phương trình đầu, ta được:

$2(-y - 3) = y^2 + y$

$\Leftrightarrow -2y - 6 = y^2 + y$

$\Leftrightarrow y^2 + 3y + 6 = 0$

Phương trình bậc 2 trên vô nghiệm vì $\Delta = 3^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(0; 0)$ và $(1; 1)$.

Timi · Answer

Ta có:
$$2x = y^2 + y$$
$$2y = x^2 + x$$

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 2, ta được:
$$4x = 2y^2 + 2y$$

Thay $2y$ từ phương trình thứ hai vào, ta có:
$$4x = 2y^2 + (x^2 + x)$$
$$4x = 2y^2 + x^2 + x$$
$$3x = 2y^2 + x^2$$

Tương tự, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được:
$$4y = 2x^2 + 2x$$

Thay $2x$ từ phương trình đầu tiên vào, ta có:
$$4y = 2x^2 + (y^2 + y)$$
$$4y = 2x^2 + y^2 + y$$
$$3y = 2x^2 + y^2$$

Bây giờ, ta có hai phương trình mới:
$$3x = 2y^2 + x^2$$
$$3y = 2x^2 + y^2$$

Ta sẽ trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
$$3x - 3y = (2y^2 + x^2) - (2x^2 + y^2)$$
$$3(x - y) = 2y^2 + x^2 - 2x^2 - y^2$$
$$3(x - y) = y^2 - x^2$$
$$3(x - y) = -(x^2 - y^2)$$
$$3(x - y) = -(x - y)(x + y)$$

Nếu $x - y \neq 0$, ta có thể chia cả hai vế cho $x - y$:
$$3 = -(x + y)$$
$$x + y = -3$$

Nếu $x - y = 0$, tức là $x = y$, thay vào phương trình ban đầu:
$$2x = x^2 + x$$
$$x^2 - x = 0$$
$$x(x - 1) = 0$$
$$x = 0 \text{ hoặc } x = 1$$

Vậy ta có các nghiệm:
1. $x = 0$, $y = 0$
2. $x = 1$, $y = 1$

Kiểm tra lại:
- Với $x = 0$, $y = 0$:
  $$2(0) = 0^2 + 0$$
  $$0 = 0$$
  $$2(0) = 0^2 + 0$$
  $$0 = 0$$

- Với $x = 1$, $y = 1$:
  $$2(1) = 1^2 + 1$$
  $$2 = 2$$
  $$2(1) = 1^2 + 1$$
  $$2 = 2$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
$$(x, y) = (0, 0) \text{ hoặc } (1, 1)$$

Giải hệ phương trình: $2x=y^2+y$ $2y=x^2+x$ Mn thông cảm nhé, tớ không biết ngoặc