Giúp mình với!

Câu 12: Để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, ta cần: - AB = AC - AB vuông góc với AC Bước 1: Tính độ dài AB và AC $$ $$ Bước 2: Đặt điều kiện AB = AC $$ $$ $$ Bước 3: Tính tích vô hướng AB và AC $$ $$ $$ Để AB vuông góc với AC, ta cần: $$ Bước 4: Thay x = 4 vào phương trình $$ $$ $$ $$ Vậy tọa độ của C là $$. Đáp án đúng là B. $$. Câu 13: a) [NB] Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng 142. - Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số là 142 tại điểm x = 3. - Do đó, khẳng định này đúng. b) [TH] Hàm số đồng biến trên khoảng (8,38). - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 3) và (8, +∞). - Do đó, khẳng định này sai vì hàm số không đồng biến trên khoảng (8,38). c) [TH] Đồ thị hàm số $$ không có tiệm cận đứng. - Để đồ thị hàm số $$ không có tiệm cận đứng, mẫu số f(x) + 14 phải khác 0 trên toàn bộ miền xác định của hàm số. - Từ bảng biến thiên, ta thấy f(x) có giá trị nhỏ nhất là -14 tại điểm x = 8. - Do đó, f(x) + 14 = 0 tại điểm x = 8, dẫn đến mẫu số bằng 0. - Do đó, khẳng định này sai vì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tại x = 8. d) [VD] Giá trị nhỏ nhất của hàm số $$ là 8. - Ta xét hàm số $$. - Xét biến đổi $$, ta có $$ vì $$. - Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t) là -14 tại điểm t = 8. - Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số $$ là -14, không phải là 8. - Do đó, khẳng định này sai. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Câu 14: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 2. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. 3. Tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. 4. Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu. Bước 1: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận xiên Tiệm cận ngang: Ta tính giới hạn của hàm số khi $$: $$ Chia cả tử và mẫu cho $$: $$ Do đó, hàm số không có tiệm cận ngang. Tiệm cận xiên: Ta thực hiện phép chia đa thức: $$ Khi $$, phần dư $$ tiến đến 0. Vậy tiệm cận xiên là: $$ Bước 2: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến Ta tính đạo hàm của hàm số: $$ Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $$: $$ Phương trình này có hai nghiệm: $$ Xét dấu của đạo hàm $$ trên các khoảng: - Khi $$, $$ nên hàm số đồng biến. - Khi $$, $$ nên hàm số nghịch biến. - Khi $$, $$ nên hàm số nghịch biến. - Khi $$, $$ nên hàm số đồng biến. Bước 3: Tìm các điểm cực đại và cực tiểu - Điểm cực đại tại $$: $$ - Điểm cực tiểu tại $$: $$ Bước 4: Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu Đường thẳng đi qua hai điểm $$ và $$: $$ $$ $$ $$ $$ Kết luận: - Đáp án đúng là: d) [VD,VDC] Đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $$. Câu 15: a) Độ dài vectơ $$ là $$ Để kiểm tra độ dài vectơ $$, ta tính khoảng cách giữa hai điểm S và A: $$ Vậy độ dài vectơ $$ là $$, không phải $$. Do đó, câu a) sai. b) Hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và đỉnh S nằm thẳng đứng trên tâm của đáy. Vì vậy, hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Câu b) đúng. c) Hình chóp S.A'B'C'D' là hình chóp tứ giác đều. Biết A', B', C', D' lần lượt là điểm cuối của các vectơ lực $$, $$, $$, $$. Do các lực $$, $$, $$, $$ có độ lớn bằng nhau và phân bố đều quanh đỉnh S, các điểm A', B', C', D' sẽ tạo thành một hình vuông ở đáy và đỉnh S nằm thẳng đứng trên tâm của đáy. Vì vậy, hình chóp S.A'B'C'D' cũng là hình chóp tứ giác đều. Câu c) đúng. d) Biết $$ khi đó: $$. Trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn 80 N và được phân bố thành bốn lực có độ lớn bằng nhau, tức là mỗi lực có độ lớn là: $$ Vì các lực này có độ lớn bằng nhau và phân bố đều, ta có thể giả sử rằng các thành phần của vectơ lực $$ là: $$ Với độ lớn của $$ là 20 N, ta có: $$ Tuy nhiên, để xác định $$, ta cần biết thêm thông tin về hướng của các lực. Nếu ta giả sử rằng các lực này có cùng hướng và phân bố đều, thì ta có thể suy ra rằng $$. Tuy nhiên, do không có thông tin cụ thể về hướng của các lực, ta không thể chắc chắn rằng $$. Do đó, câu d) chưa đủ thông tin để xác định. Đáp án: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Chưa đủ thông tin để xác định Câu 16. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $$ b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: - Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất): - Tổng số ngày là 30. - Vị trí của Q1 là $$. - Q1 nằm trong nhóm [100; 150) vì 7,75 < 15. - Q1 = 100 + $$ = 100 + $$ = 100 + 13,75 = 113,75. - Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba): - Vị trí của Q3 là $$. - Q3 nằm trong nhóm [150; 200) vì 23,25 < 28. - Q3 = 150 + $$ = 150 + $$ = 150 + 45,83 = 195,83. - Khoảng tứ phân vị: $$ c) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: - Tính trung bình cộng: $$ $$ d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: - Tính phương sai: $$ $$ $$ $$ - Độ lệch chuẩn: $$ Đáp số: a) 200 km b) 82,08 c) 130 d) 53,65 Câu 17: Để hai vectơ $$ và $$ tạo với nhau một góc $$, ta cần tính tích vô hướng của chúng và so sánh với công thức tính góc giữa hai vectơ. Tích vô hướng của $$ và $$ là: $$ Ta cũng biết rằng: $$ Theo công thức tính góc giữa hai vectơ: $$ Trước tiên, tính độ dài của hai vectơ: $$ $$ Thay vào công thức: $$ Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: $$ $$ Nhân cả hai vế với $$ để loại bỏ mẫu số: $$ Mở ngoặc và giản ước: $$ $$ Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $$ $$ Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: $$ Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: $$ $$ $$ $$ $$ Vậy tập hợp các giá trị của $$ là: $$ Số phần tử của $$ là 2. Đáp số: 2 Câu 18: Để tìm các điểm M thỏa mãn điều kiện $$, ta cần xác định vị trí của M sao cho các đoạn thẳng MA, MB, MC vuông góc với nhau. 1. Xác định điều kiện vuông góc: - $$ - $$ - $$ 2. Tìm các vectơ: - $$ - $$ - $$ 3. Áp dụng điều kiện vuông góc: - $$ $$ $$ - $$ $$ $$ - $$ $$ $$ 4. Giải hệ phương trình: Ta có ba phương trình: $$ $$ $$ Ta thấy rằng ba phương trình này đều có dạng tương tự và có thể rút gọn để tìm nghiệm chung. Ta nhận thấy rằng nếu $$, thì các phương trình sẽ thoả mãn. Thay $$ vào bất kỳ phương trình nào: $$ $$ $$ Vậy $$ hoặc $$. Do đó, ta có hai điểm M thoả mãn: - $$ - $$ Kết luận: Có 2 điểm M thoả mãn điều kiện $$. Câu 19. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số. 2. Xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. 3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng đó. Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số. Hàm số đã cho là: $$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: $$ Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $$ $$ $$ $$ Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình: $$ $$ $$ Giải phương trình bậc hai: $$ $$ $$ $$ Vậy hai điểm cực trị có hoành độ là $$ và $$. Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Ta tính giá trị của hàm số tại hai điểm cực trị: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Bước 3: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng đó. Phương trình đường thẳng là: $$ Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0, 0) đến đường thẳng: $$ $$ $$ $$ Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng A là khoảng 1.79 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 20: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa thời gian bằng cách sử dụng đạo hàm. 1. Xác định các đại lượng: - Khoảng cách từ A đến O là 2 km. - Khoảng cách từ O đến B là 4 km. - Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h. - Vận tốc chạy bộ là 10 km/h. 2. Gọi khoảng cách từ O đến điểm C (điểm mà anh Tư lên bờ) là $$ km. - Khoảng cách từ A đến C là $$ km. - Khoảng cách từ C đến B là $$ km. 3. Thời gian chèo thuyền từ A đến C: $$ 4. Thời gian chạy bộ từ C đến B: $$ 5. Tổng thời gian là: $$ 6. Tìm đạo hàm của $$: $$ $$ 7. Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị cực tiểu: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ 8. Thay $$ vào $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ 9. Chuyển đổi thời gian sang phút: $$ Đáp số: Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Tư đi từ vị trí xuất phát đến được điểm B là 40 phút.