Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số từ 1, 2, 3, 4 và tám quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết tám quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được phân biệt thông qua tên gọi và ngăn được chọn để sắp xếp (vị trí ngăn). Khi đã xếp xong tám quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:

Với từng ngăn, số lượng quyển sách có mặt ở đó là như nhau trong cả hai cách xếp.

Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.

Gọi
𝑇
T là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của
𝑇
600
600
T

bằng bao nhiêu?

Question

Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số từ 1, 2, 3, 4 và tám quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết tám quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được phân biệt thông qua tên gọi và ngăn được chọn để sắp xếp (vị trí ngăn). Khi đã xếp xong tám quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:

Với từng ngăn, số lượng quyển sách có mặt ở đó là như nhau trong cả hai cách xếp.

Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.

Gọi 
𝑇
T là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của 
𝑇
600
600
T
​
  bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số cách xếp 8 quyển sách vào 4 ngăn sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp để giải quyết bài toán này.

Bước 1: Xác định số cách chia 8 quyển sách thành 4 nhóm sao cho mỗi nhóm có ít nhất một quyển sách.

Chúng ta có thể sử dụng công thức phân phối các phần tử khác nhau vào các hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất một phần tử:
$$ S(n, k) \times k! $$
Trong đó $ S(n, k) $ là số Stirling loại thứ hai và $ k! $ là số hoán vị của các nhóm.

Ở đây, $ n = 8 $ và $ k = 4 $.

Bước 2: Tính số Stirling loại thứ hai $ S(8, 4) $.

Số Stirling loại thứ hai $ S(n, k) $ có thể được tính bằng công thức:
$$ S(n, k) = \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} j^n $$

Áp dụng công thức này cho $ n = 8 $ và $ k = 4 $:
$$ S(8, 4) = \frac{1}{4!} \left[ \binom{4}{0} 0^8 - \binom{4}{1} 1^8 + \binom{4}{2} 2^8 - \binom{4}{3} 3^8 + \binom{4}{4} 4^8 \right] $$

Tính toán từng phần:
$$ \binom{4}{0} 0^8 = 1 \times 0 = 0 $$
$$ \binom{4}{1} 1^8 = 4 \times 1 = 4 $$
$$ \binom{4}{2} 2^8 = 6 \times 256 = 1536 $$
$$ \binom{4}{3} 3^8 = 4 \times 6561 = 26244 $$
$$ \binom{4}{4} 4^8 = 1 \times 65536 = 65536 $$

Tổng:
$$ 0 - 4 + 1536 - 26244 + 65536 = 40824 $$

Chia cho $ 4! $:
$$ S(8, 4) = \frac{40824}{24} = 1701 $$

Bước 3: Nhân số Stirling loại thứ hai với số hoán vị của các nhóm:
$$ T = S(8, 4) \times 4! = 1701 \times 24 = 40824 $$

Bước 4: Tính giá trị của $ \frac{T}{600} $:
$$ \frac{T}{600} = \frac{40824}{600} = 68.04 $$

Vậy giá trị của $ \frac{T}{600} $ là 68.04.

Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số từ 1, 2, 3, 4 và tám quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết tám quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyể...