Viết phương trình mặt phắng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) qua điêm M (0;,2;2) và có cặp vecto chi phương là u1 (2;0;-1) và u2 (1;2;1)
b) (P) đi qua 3 điêm A(2;2;1), B(1;-3;0) và C(3;3;0).
c) (P) đi qua A(2;-2;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q):3x-3y-2z-7=0.

Question

Accepted Answer

Để viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp đã cho, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp khác nhau tùy thuộc vào thông tin đã cho.

a) Mặt phẳng (P) qua điểm $ M(0, 2, 2) $ và có cặp vectơ chỉ phương là $ \mathbf{u_1} = (2, 0, -1) $ và $ \mathbf{u_2} = (1, 2, 1) $.

Để xác định phương trình mặt phẳng, ta cần tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến $ \mathbf{n} $ có thể được tìm bằng tích có hướng của hai vectơ chỉ phương $ \mathbf{u_1} $ và $ \mathbf{u_2} $.

$$
\mathbf{n} = \mathbf{u_1} \times \mathbf{u_2} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & 0 & -1 \
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 1)
$$

$$
= \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(4) = (2, -3, 4)
$$

Phương trình mặt phẳng có dạng: $ 2(x - 0) - 3(y - 2) + 4(z - 2) = 0 $.

Rút gọn, ta được: $ 2x - 3y + 4z - 14 = 0 $.

b) Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm $ A(2, 2, 1) $, $ B(1, -3, 0) $, và $ C(3, 3, 0) $.

Đầu tiên, ta tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng:

$$
\mathbf{AB} = (1 - 2, -3 - 2, 0 - 1) = (-1, -5, -1)
$$
$$
\mathbf{AC} = (3 - 2, 3 - 2, 0 - 1) = (1, 1, -1)
$$

Vectơ pháp tuyến $ \mathbf{n} $ là tích có hướng của $ \mathbf{AB} $ và $ \mathbf{AC} $:

$$
\mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-1 & -5 & -1 \
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}((-5) \cdot (-1) - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - (-5) \cdot 1)
$$

$$
= \mathbf{i}(5 + 1) - \mathbf{j}(1 + 1) + \mathbf{k}(-1 + 5) = (6, -2, 4)
$$

Phương trình mặt phẳng có dạng: $ 6(x - 2) - 2(y - 2) + 4(z - 1) = 0 $.

Rút gọn, ta được: $ 6x - 2y + 4z - 16 = 0 $.

c) Mặt phẳng (P) đi qua $ A(2, -2, 0) $, $ B(1, 0, 1) $ và vuông góc với mặt phẳng $ (Q): 3x - 3y - 2z - 7 = 0 $.

Vì (P) vuông góc với (Q), nên vectơ pháp tuyến của (P) sẽ song song với vectơ pháp tuyến của (Q), tức là $ \mathbf{n} = (3, -3, -2) $.

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: $ 3(x - 2) - 3(y + 2) - 2(z - 0) = 0 $.

Rút gọn, ta được: $ 3x - 3y - 2z - 12 = 0 $.

Như vậy, ta đã tìm được phương trình của các mặt phẳng (P) trong từng trường hợp.

Viết phương trình mặt phắng (P) trong các trường hợp sau: a) (P) qua điêm M (0;,2;2) và có cặp vecto chi phương là u1 (2;0;-1) và u2 (1;2;1) b) (P) đi qua 3 điêm A(2;2;1), B(1;-3;0) và C(3;3;0). c) (P)...