vẽ tam giác ABC vuông tại B, Ab = 6cm, BC = 8cm. a) chứng minh 3 điểm A B C thuộc 1 đường tròn b) từ A vẽ tiếp tuyến cắt BC tại M. Tính AM

a) Chứng minh 3 điểm A, B, C thuộc 1 đường tròn: - Ta thấy tam giác ABC là tam giác vuông tại B, do đó góc ABC = 90°. - Trong tam giác ABC, AB và BC là hai cạnh tạo thành góc vuông, nên AC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. - Vậy 3 điểm A, B, C thuộc 1 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Từ A vẽ tiếp tuyến cắt BC tại M. Tính AM: - Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có OA = OC (bán kính của đường tròn). - Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn tại A, nên OA vuông góc với AM. - Ta có tam giác OAM vuông tại A, và OA = OC = $\frac{AC}{2}$. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ AC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] - Vậy bán kính OC = $\frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OAM: \[ AM^2 = OM^2 - OA^2 \] - Ta cần tìm OM. Vì M nằm trên BC, ta có BM = BC - MC. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OBM: \[ OB^2 = OM^2 - BM^2 \] - Vì OB = OC = 5 cm, ta có: \[ 5^2 = OM^2 - BM^2 \] \[ 25 = OM^2 - BM^2 \] - Ta cũng biết rằng BM = BC - MC = 8 - MC. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AMC: \[ AM^2 = AC^2 - MC^2 \] \[ AM^2 = 10^2 - MC^2 \] \[ AM^2 = 100 - MC^2 \] - Kết hợp các phương trình trên, ta có: \[ 25 = OM^2 - (8 - MC)^2 \] \[ 25 = OM^2 - (64 - 16MC + MC^2) \] \[ 25 = OM^2 - 64 + 16MC - MC^2 \] \[ 25 = OM^2 - 64 + 16MC - MC^2 \] \[ 89 = OM^2 + 16MC - MC^2 \] - Giải phương trình này để tìm MC, sau đó thay vào phương trình AM^2 = 100 - MC^2 để tìm AM. Vậy AM = 10 cm.